Matematikus szak, első évfolyam, második félév Második zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Mindegyik feladat hat pontot ér, az osztályzat elégtelen, ha nincs lényegében megoldott feladat (azaz ami legalább öt pontot kapott), különben pedig az összpontszám hatodrészének egész része.

1. Legyen Q(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3}. Határozzuk meg a Q valós kvadratikus alak karakterét, és a Q = 1 térbeli alakzat origótól vett távolságát.

2. Egy kocka szemköztes lappárjait pirosra, fehérre, illetve zöldre festjük. Legyen G a kapott alakzat színtartó egybevágóságainak csoportja. Határozzuk meg G elemszámát, és elemeinek a rendjeit.

3. Hány elemű lesz az ⟨(1234), (13)⟩ részcsoport S_{4}-ben?

4. Melyik ismert véges csoporttal izomorf D_{6}/Z(D_{6})?

5. Legyen Q kvadratikus alak a ℂ feletti ℂ^{n} vektortéren. Hánydimenziós lehet a W = ⟨v ∈ ℂ^{n} | Q(v) > 0⟩ altér?

6. Legyen V egy n-dimenziós euklideszi tér ℂ felett, és A ∈ Hom(V). Létezik-e mindig olyan ortonormált b_{1}, …, b_{n} bázis V -ben, melyre minden i ≠ j esetén ⟨Ab_{i}, b_{j}⟩ = \overline{⟨Ab_{j}, b_{i}⟩}?

7^{∗}. Igaz-e, hogy páratlan rendű csoportban minden három indexű részcsoport normálosztó?