Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Kilencedik alkalom

1. Határozzuk meg Lagrange tételének felhasználásával az S_{3} csoport összes részcsoportját, valamint az A_{4} alternáló csoport összes negyedrendű részcsoportját. Írjuk fel S_{3}-ban az {id, (12)} részcsoporthoz tartozó összes bal- és jobboldali mellékosztályt.

2. Legyen nℤ^{+} az n-nel osztható egész számok csoportja az összeadásra. Határozzuk meg |ℤ^{+} : nℤ^{+}| értékét.

3. Határozzuk meg a G csoportban az X által generált részcsoportot:

a) G = ℤ^{+}, X = {28, 34}.

b) G = S_{4}, X = {(123), (12)(34)}.

c) G = ℝ^{×}, X = {2, 3}.

d) G = GL(n, ℝ), X a 2 determinánsú mátrixok halmaza.

e) G = S_{n}, X = {(12), (12 … n)}.

4. Legyen f a D_{n} diédercsoportban egy 2π/n szögű forgatás, t pedig tetszőleges tengelyes tükrözés. Mutassuk meg, hogy D_{n} minden eleme egyértelműen felírható f^{i} vagy tf^{i} alakban, ahol 0 ≤ i < n. Igazoljuk azt is, hogy f^{i}t = tf^{−i} minden i egészre.

5. Határozzuk meg a D_{5} és D_{6} diédercsoportokban a ⟨t, f^{2}⟩ részcsoportot.

6. Mutassuk meg, hogy ha A és B részcsoportok egy G csoportban, akkor AB akkor és csak akkor részcsoport, ha AB = BA.

7. Igazoljuk, hogy ha a G csoport minden elemének a négyzete az egységelem, akkor G Abel. Igaz-e az állítás négyzet helyett negyedik hatványra?

8. Ciklikus-e a három-hatványadik komplex egységgyökök multiplikatív csoportja?

9. Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok additív csoportja nem végesen generált, sőt, minimális generátorrendszere sincs.

10. Mutassuk meg, hogy két véges indexű részcsoport metszete is véges indexű. Mennyi lehet a metszet indexe legfeljebb?

11. Igazoljuk, hogy minden nem egyelemű véges csoportban van prímrendű elem.

12. Mutassuk meg, hogy ha |g| és |h| relatív prímek, és gh = hg, akkor |gh| = |g||h|. Elhagyható-e a két feltétel valamelyike?

13. Igazoljuk, hogy |G| pontosan akkor páros, ha G-ben van másodrendű elem.

14. Legyen G csoport, H részcsoportja G-nek és g ∈ G. Mutassuk meg, hogy a g^{−1}Hg komplexusszorzat is részcsoport, melynek rendje ugyanaz, mint H rendje. Igaz-e, hogy a Hg jobboldali mellékosztály G egy alkalmas részcsoportja szerinti baloldali mellékosztály is egyben?

15^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy végesen generált csoportnak minden véges indexű részcsoportja végesen generált.

Fordíts!

16. Határozzuk meg az alábbi G ≤ S_{X} permutációcsoportokban az orbitokat és a stabilizátorokat.

a) X a sík pontjai, G az origó körüli forgatások csoportja.

b) X a sík pontjai, G az x-tengellyel párhuzamos eltolások csoportja.

c) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportja.

d) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportjának egy adott csúcsot fixáló elemei.

e) X egy kocka csúcsai, G a kocka szimmetriacsoportjában az egyik csúcs stabilizátora.

f) X = {1, 2, 3, 4}, G = A_{4}.

g) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gx, a G csoport az f_{g} permutációkból áll.

h) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gxg^{−1}, a G csoport az f_{g} permutációkból áll (itt csak a stabilizátorok kellenek).

17. Az alábbi csoportoknak határozzuk meg a rendjét és az elemeiknek a rendjeit. a) Egy olyan téglalap szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

b) Egy olyan deltoid szimmetriacsoportja, amely nem rombusz.

c) Egy olyan rombusz szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

d) Egy négyzet szimmetriacsoportja.

18. Határozzuk meg az alábbi alakzatok szimmetriáinak számát.

a) Egy olyan téglatest, aminek mindhárom élhosszúsága különböző.

b) Egy olyan négyzet alapú egyenes hasáb, ami nem kocka.

c) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.

19. Rajzoljunk olyan gráfokat, melyeknek rendre pontosan 2, 4, illetve 3 szimmetriája van. Rajzoljunk olyanokat is, amiknek csak 1 van (az identitás).

20^{∗}. Mutassuk meg, hogy minden véges csoport előáll egy alkalmas véges, irányítatlan (többszörös és hurokél nélküli) gráf szimmetriacsoportjaként.

21. Legyen G ≤ S_{X} és x, y ∈ X. Mutassuk meg, hogy ha g(x) = y, és x stabilizátora H, akkor y stabilizátora gHg^{−1}.

22. Legyenek A és B részcsoportok a G csoportban. Legyen X a B szerinti baloldali mellékosztályok halmaza, és hasson ezen A balszorzással, azaz legyen a ∗ (gB) = agB. Mutassuk meg, hogy hatást kaptunk, határozzuk meg a B orbitját és stabilizátorát, majd igazoljuk, hogy |AB| = |A||B|/|A ∩ B|.

23. Igazoljuk, hogy ha A ≤ S_{n} Abel-féle és tranzitív, akkor |A| = n.

24. Mutassuk meg, hogy S_{n}-ben minden pont stabilizátora maximális részcsoport.

25. Hasson a G véges csoport az X véges halmazon. Bizonyítsuk be, hogy a G orbitjainak száma éppen a G elemei fixpontjainak átlagos száma.

26^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím, és G tranzitív részcsoportja S_{p}-nek, mely tartalmaz transzpozíciót, akkor G = S_{p}.