Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Hetedik alkalom

Legyen a B szimmetrikus bilineáris függvény mátrixa M. Végezzük el rajta a következő, módosított Gauss-eliminációt. Az elemi lépés most az, hogy az egyik sorból kivonjuk egy másik skalárszorosát, és ezután azonnal az ugyanannyiadik oszlopból is kivonjuk a megfelelő oszlop ugyanannyiszorosát. Hasonlóképpen kicserélhetünk két sort, és utána azonnal a megfelelő két oszlopot. Az M mátrixot a főátlóban lefelé haladva diagonalizáljuk ezekkel a lépésekkel, ezért elég azt megmutatni, hogy az első sor és oszlop nem átlóbeli elemei kinullázhatók. Ez nyilvánvaló akkor, ha a bal felső sarokban nem nulla áll. Ha ott nulla áll, de a főátló nem végig nulla, akkor a bal felső sarokba cserélünk egy nem nulla elemet. Végül ha a főátló végig nulla, akkor az első oszlop egy nem nulla elemének sorát adjuk hozzá az első sorhoz (és a megfelelő oszlopot is az első oszlophoz).

1. Tekintsük a −x^{2} + 10xy − y^{2} − z^{2} és a −3x\overline{x} + 4ix\overline{y} − 4i\overline{x}y + 3y\overline{y} − z\overline{z} kvadratikus alakot ℝ illetve ℂ felett. Írjuk fel ezek mátrixát, transzformáljuk őket négyzetösszeggé a fenti módszerrel is és a Gram-Schmidt eljárással is, végül határozzuk meg karakterüket.

2. Mely testek fölött diagonalizálható az x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} szimmetrikus bilineáris függvény? A valós test esetében adjuk meg az összes ortogonális bázist.

3. Legyen Q kvadratikus alak egy valós feletti vektortéren, e_{1}, …, e_{n} egy Q-ortogonális bázis, és U = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) > 0⟩, V = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) ≥ 0⟩, W = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) = 0⟩. E három altér közül melyek függetlenek az e_{1}, …, e_{n} bázistól?

4. Ellentmond x^{2} + y^{2} + (x + y)^{2} = (\sqrt{3}x)^{2} + (\sqrt{3}y)^{2} − (x − y)^{2} a tehetetlenségi tételnek?

5. Igazoljuk, hogy a fenti eljárás 2-től különböző karakterisztikájú test esetében diagonális mátrixhoz vezet. Hogyan módosul a bázis az elemi lépések során?

6. Mutassuk meg, hogy a valós test felett a fenti eliminációs eljárásban a bal felső sarokban álló aldeterminánsok (az úgynevezett főminorok) előjele nem változik meg. Igazoljuk, hogy B(u, u) akkor és csak akkor pozitív definit, ha valamennyi főminor pozitív, és akkor és csak akkor negatív definit, ha a növekvő főminorok előjeleinek sorozata −, +, −, +, −, . . ..

7. Mely bilineáris függvények mátrixa nem függ a bázistól?

8. Egy bilineáris függvény antiszimmetrikus, ha B(u, v) = −B(v, u) minden u, v-re. Igazoljuk 2-től különböző karakterisztikájú test esetén, hogy B akkor és csak akkor antiszimmetrikus, ha a hozzá tartozó kvadratikus alak nulla, továbbá hogy a bilineáris függvények tere a szimmetrikus és az antiszimmetrikus bilineáris függvények altereinek direkt összege.

9. Igazoljuk, hogy minden komplex bilineáris függvény egyértelműen írható A + Bi alakban, ahol A és B Hermitikus.

10. Legyen B pozitív definit bilineáris függvény. Igaz-e, hogy tetszőleges v_{1}, …, v_{n} vektorok akkor és csak akkor függetlenek, ha a |((B(v_{i}, v_{j}))| determináns nullától különböző?

11^{∗}. Mely valós szimmetrikus bilineáris függvényekre eleme minden nem nulla vektor egy ortogonális bázisnak?

12^{∗}. Mely B komplex bilineáris függvényekre igaz, hogy B(u, v) = 0 ⟺ B(v, u) = 0?