Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Hatodik alkalom

1. Legyen T a sík egy transzformációja, ami nem nyújtás. Igazoljuk, hogy ha T diagonalizálható, akkor négy invariáns altere van, ha nincs valós sajátértéke, akkor kettő, különben pedig három. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér.

2. Melyek azok a transzformációk, melyekre minden altér invariáns?

3. Mutassuk meg, hogy ha AB = BA, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és Ker(A) is B-invariáns altér.

4. Legyen A ∈ Hom(V) és v ∈ V. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) W = ⟨v, Av, A^{2}v, … ⟩ épp a v-t tartalmazó legszűkebb A-invariáns altér.

b) dim(W) = gr(m_{A,v}) (m_{A,v} az V/20. feladatban definiált polinom).

c) Ha m_{A}-nak van k-adfokú irreducibilis osztója, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

d) Egy lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja akkor és csak akkor irreducibilis, ha a transzformációnak csak két invariáns altere van (a triviálisak).

5. Van-e olyan M ∈ ℚ^{100×100} mátrix, melynek csak a két triviális invariáns altere van?

6. Tegyük fel, hogy A egy olyan lineáris transzformáció egy n-dimenziós téren, melynek n különböző sajátértéke van. Igazoljuk, hogy A-nak pontosan 2^{n} invariáns altere van. Igazoljuk azt is, hogy ha B felcserélhető A-val, akkor van olyan f polinom, hogy B = f(A).

7. Adjuk meg az alábbi mátrixok Jordan-alakját.

( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}−3 & −4 & 1 \\ 6 & 9 & −2 \\ 15 & 24 & −5 \end{matrix} )

8. Legyen T test, λ ∈ T, és M az az n×n-es Jordan-blokk, melynek főátlójában λ, a felette levő, vele párhuzamos „ferde sorban” csupa 1-es, a mátrix többi helyén pedig mindenütt nulla áll. Igazoljuk, hogy ha f ∈ T [x], akkor az f(M) mátrix elemei a következők: a főátló alatt csupa nulla áll, és a főátlóval párhuzamos, a főátlótól felfelé számított k-adik „ferde sor” mindegyik eleme f^{(k)}(λ)/k!, ahol a (k) kitevő k-adik deriváltat jelöl (0 ≤ k ≤ n − 1).

9. Bizonyítsuk be, hogy ha M komplex elemű mátrix, akkor n → ∞ esetén M^{n} akkor és csak akkor tart nullához, ha M minden sajátértékének az abszolút értéke 1-nél kisebb.

10. Legyen A lineáris transzformáció egy komplex feletti n-dimenziós vektortéren. a) Igazoljuk, hogy ha k ≤ n, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

b) Mik lesznek A hatványainak sajátértékei? Mit mondhatunk ezek multiplicitásairól?

11. Legyen V egy véges dimenziós vektortér és A ∈ Hom(V). Igazoljuk, hogy van olyan k egész, melyre V = Im(A^{k}) ⊕ Ker(A^{k}).

12. Legyen W altere a V vektortérnek, 𝔸 = Hom(V) mint algebra, és álljon 𝔹 az 𝔸 azon elemeiből, melyeknek W invariáns altere. Mutassuk meg, hogy 𝔹 részalgebrája 𝔸 -nak, és határozzuk meg a dimenzióját.