Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Ötödik alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk illetve mátrixok sajátértékeit, sajátaltereit, és karakterisztikus polinomját.

a) Az alábbi mátrixok ℝ illetve ℂ felett:

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 \\ 1 & α \end{matrix} )  ( \begin{matrix}α & 0 & 0 \\ 1 & α & 0 \\ 0 & 1 & α \end{matrix} )

Melyek diagonalizálhatóak? Számítsuk ki az utolsó két mátrix n-edik hatványát.

b) A vektortér a sík ℝ felett, a transzformáció pedig az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás.

c) A transzformáció a deriválás az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemeinek vektorterén.

2. Legyen A egybevágósági transzformáció a térben, mely a P pontot helyben hagyja. Igazoljuk, hogy van olyan Q ≠ P pont, melyet A vagy helyben hagy, vagy P -re tükröz.

3. Egy város lakásait három kategóriába sorolják állapotuk szerint: elhanyagolt, átlagos, és kitűnő. A jelenlegi finanszírozási lehetőségek mellett az éves statisztikák azt mutatják, hogy az elhanyagolt lakások 60 százaléka elhanyagolt marad az év végére is, 30 százalékukat felújítják átlagos állapotúra, a maradék 10 százalékot pedig kitűnő állapotúra. Az átlagos állapotú lakások 20 százaléka leromlik elhanyagoltra, 70 százaléka marad átlagos állapotú, a maradék 10 százalékot pedig felújítják. Végül a kitűnő állapotú lakások 80 százaléka kitűnő állapotban marad, a maradék 20 százalék pedig leromlik átlagosra az év végére. Hosszú távon mi lesz a lakások állapotának eloszlása? [Eredmény: 2 : 4 : 3, százalékban közelítőleg 22.2 : 44.4 : 33.3, ez már 4-5 év alatt beáll, és nem függ a kiinduló eloszlástól.]

4. Az alábbi sorozatok általános elemét írjuk fel a mátrixhatványozás segítségével, majd a mátrixot diagonalizálva adjunk az eredményre explicit képletet.

a) a_{0} = a_{1} = 1, a_{k} = a_{k−1} + a_{k−2} (Fibonacci-sorozat).

b) a_{0} = 5, a_{1} = 6, a_{2} = 10, a_{k} = 2a_{k−1} − a_{k−2} + 2a_{k−3}.

5. Adjunk explicit képletet az a_{k} és b_{k} számokra, amelyek rekurzív definíciója a következő: a_{0} = 1, b_{0} = 1, a_{k+1} = 2a_{k} + b_{k}, b_{k+1} = 2b_{k} − a_{k} (k ≥ 0).

6. Mutassuk meg, hogy tetszőleges transzformációnak ugyanaz a karakterisztikus polinomja, mint (tetszőleges bázisban felírt) mátrixának. Igazoljuk, hogy egy tetszőleges n × n-es M mátrix karakterisztikus polinomja tényleg egy n-edfokú polinom. Milyen kapcsolatban állnak az M karakterisztikus polinomjának együtthatói M nyomával illetve determinánsával? Mutassuk meg, hogy ha M-nek n különböző sajátértéke van, akkor ezek összege az M nyoma, szorzatuk pedig az M determinánsa.

7. Igazoljuk, hogy ha a λ sajátértékhez tartozó sajátaltér k dimenziós, akkor λ legalább k-szoros gyöke a karakterisztikus polinomnak. Teljesül-e mindig az egyenlőség? Igaz-e, hogy a diagonalizálhatóság azzal ekvivalens, hogy a sajátalterek összege az egész tér?

Fordíts!

8. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Ha λ sajátértéke A-nak, akkor λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek.

b) Ha λ^{2} sajátértéke A^{2}-nek, akkor λ sajátértéke A-nak.

c) Ha 0 sajátértéke A^{2}-nek, akkor 0 sajátértéke A-nak.

9^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy komplex elemű négyzetes mátrix akkor és csak akkor nilpotens, ha minden hatványának nulla a nyoma. Az első hány hatványra kell ezt feltenni?

10. Tegyük fel, hogy egy n × n-es M mátrix főátlójában és ezalatt csupa nulla áll. Igazoljuk, hogy M^{n} = 0.

Cayley-Hamilton tétel: Minden transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának.

11. Határozzuk meg az első feladatban szereplő mátrixok és lineáris transzformációk minimálpolinomját. Határozzuk meg egy általános diagonális mátrix minimálpolinomját.

12. Melyek azok a lineáris transzformációk a síkon, melyeknek minimálpolinomja elsőfokú? Melyek azok, melyeknek másodfokú? Melyek azok, amelyeknek a minimálpolinomja és a karakterisztikus polinomja különböző? Adjunk meg a síkon olyan lineáris transzformációt, melynek minimálpolinomja x^{2}.

13. Oldjuk meg ℚ^{2×2}-ben az X^{4} = 2X egyenletet.

14. Igazoljuk, hogy ha M invertálható mátrix, akkor M^{−1} polinomja M-nek.

15. Tekintsük Hom(V)-ben az {A^{i} | i = 0, 1, 2, … } (A^{0} = I) transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

16. Igazoljuk, hogy egy racionális elemű négyzetes mátrix minimálpolinomja ugyanaz ℚ és ℂ felett. (Használjunk fel egy korábban a gyakorlaton szerepelt állítást homogén racionális együtthatós egyenletrendszerek komplex megoldásairól).

17. Határozzuk meg a komplex számok ℝ feletti algebrájában a \sqrt{2}+1 minimálpolinomját.

18. Definiáljunk szorzást az (x, y)(u, v) = (xu + yv, xv + yu) képlettel a sík pontjainak vektorterén. Így egy ℝ feletti egységelemes algebrát kapunk. Mi lesz ebben a (3, 2) elem minimálpolinomja?

19. A Gauss-egészek az a+bi alakú komplex számok, ahol a, b ∈ ℤ. Határozzuk meg ebben a gyűrűben a legszűkebb olyan ideált, ami az 5 + 5i és a 7i − 1 számokat is tartalmazza, majd adjuk meg ennek az ideálnak az összes generátorelemét.

20. Legyen A lineáris transzformáció a V vektortéren, és 0 ≠ v ∈ V.

a) Mutassuk meg, hogy azok a p polinomok, melyekre p(A)v = 0, ideált alkotnak T [x]- ben. Jelölje m_{A,v} ennek a normált generátorelemét.

b) Határozzuk meg az m_{A,v} polinomot tetszőleges v esetén, ha A a síkon egy tengelyes tükrözés, egy forgatás, valamint ha A a deriválás a polinomok vektorterén.

c) Igazoljuk, hogy m_{A} az összes m_{A,v} legkisebb közös többszöröse, midőn v befutja V -t.

21. Igaz-e, hogy tetszőleges legfeljebb n-edfokú m(x) polinomhoz van az n-dimenziós vektortérnek egy olyan lineáris transzformációja, amelynek m(x) a minimálpolinomja? Mely polinomok állnak elő egy alkalmas lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjaként?