Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Negyedik alkalom

Vektorrendszer rangja az általa generált altér dimenziója, ami tetszőleges maximális független részrendszer elemszáma. Lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mind bármelyik tényező rangja. Lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának az oszloprangja. Mátrix oszloprangja ugyanaz, mint a sorrangja, és ez a Gauss-eliminációban fellépő vezéregyesek száma. A diád egy oszlopvektor és egy sorvektor szorzata. Egy mátrix rangja a legkisebb olyan szám, ahány diád összegére bontható. Legyenek V és W vektorterek T felett, B = (b_{1}, …, b_{n}) bázis V -ben, C = (c_{1}, …, c_{n}) bázis W -ben, és A ∈ Hom(V, W). A V^{∗} = Hom(V, T) a V duális tere.

• Ha w ∈ W, akkor w̃ : T → W az a leképezés, melyre w̃(λ) = λw („jobbszorzás” w-vel). A ˜ : W → Hom(T, W) bázistól független izomorfizmus, és [w̃]_{C/{1}} = [w]_{C}.

• Legyen b_{i}^{∗} ∈ V^{∗} az a leképezés, melyre b_{i}^{∗}(b_{j}) = δ_{ij}. Az a ^{∗} : V → V^{∗} lineáris leképezés, amelynél b_{i} ↦ b_{i}^{∗}, a B bázistól függő izomorfizmus, és [v^{∗}]_{{1}/B} = [v]_{B}^{T}.

• Ha v ∈ V, akkor v̂ ∈ V^{∗∗} az a leképezés, melynél tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén v̂(f) = f(v) (a v „behelyettesítése”). A ˆ : V → V^{∗∗} bázistól független izomorfizmus, és v^{∗∗} = v̂, ahol a második ^{∗} a B^{∗} = (b_{1}^{∗}, …, b_{n}^{∗}) duális bázisra vonatkozik. Továbbá [v̂]_{{1}/B^{∗}} = [v]_{B}^{T}.

• Ha w ∈ W, akkor a [w]_{C} oszlopvektor i-edik koordinátája c_{i}^{∗}w. Az [A]_{C/B} mátrix i-edik sorának j-edik eleme c_{i}^{∗}Ab_{j}.

• Legyen A^{∘} ∈ Hom(W^{∗}, V^{∗}) az a leképezés, melyre f ∈ W^{∗} esetén A^{∘}(f) = f ∘ A. Ekkor [A^{∘}]_{B^{∗}/C^{∗}} = [A]_{C/B}^{T}. Az A^{∗} ∈ Hom(W, V) leképezést úgy definiáljuk, hogy az A^{∘} leképezést komponáljuk a W és W^{∗} közötti C bázishoz, illetve a V és V^{∗} közötti B bázishoz tartozó izomorfizmussal: (A^{∗}w)^{∗} = A^{∘}(w^{∗}) = w^{∗}A. Így [A^{∗}]_{B/C} = [A]_{C/B}^{T}.

• Ha v ∈ V és w ∈ W, akkor a w̃v^{∗} : V → W leképezést diádnak nevezzük. Speciálisan c̃_{i}b_{j}^{∗} (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) bázis Hom(V, W)-ben (a mátrixukban egy 1-es, a többi 0).

1. Igazoljuk az alábbiakat mátrixok felhasználása nélkül (a jelölések a fentiek, az egymás mellé írás kompozíciót is és behelyettesítést is jelölhet).

a) A ˜ művelettartó, és { \atop A(v)} = Aṽ.

b) B^{∗} bázis V^{∗}-ban.

c) A ˆ lineáris és injektív.

d) c̃_{i}b_{j}^{∗} bázis Hom(V, W)-ben.

e) ∑_{i=1}^{n} b̃_{i}b_{i}^{∗} = id_{V}.

f) A ^{∘} : Hom(V, W) → Hom(W^{∗}, V^{∗}) és a ^{∗} : Hom(V, W) → Hom(W, V) leképezések művelettartóak, és A^{∗∗} = A.

g) Ha A ∈ Hom(V, W) és B ∈ Hom(U, V), akkor (AB)^{∘} = B^{∘}A^{∘}, és (AB)^{∗} = B^{∗}A^{∗}.

h) Ha w, w_{1} ∈ W, akkor w^{∗}(w_{1}) = w_{1}^{∗}(w) és (w̃)^{∗} = w^{∗}.

i) Ha v ∈ V, és a v^{∗}-ot mint leképezést csillagozzuk meg, akkor az eredmény ṽ.

j) Tetszőleges diádra (w̃v^{∗})^{∗} = ṽw^{∗}, azaz szintén diád. Vezessük le a j) állításból, hogy egy mátrix oszloprangja és sorrangja (azaz a transzponáltjának az oszloprangja) ugyanaz.

Fordíts!

2. Írjuk fel a megfelelő bázispárokban az Ab̃_{j}, és a c_{i}^{∗}A leképezések mátrixát. Ennek, és az 1/e állításnak a felhasználásával mutassuk meg, hogy ha az M = NK mátrixszorzás igaz, akkor M = u_{1}v_{1} + ⋯ + u_{s}v_{s}, ahol N oszlopai u_{1}, …, u_{s}, és K sorai v_{1}, …, v_{s}.

3. Igazoljuk, hogy ha M = u_{1}v_{1} + ⋯ + u_{s}v_{s}, és {u_{1}, …, u_{s}} vagy {v_{1}, …, v_{s}} összefüggő, akkor ez a diádfelbontás rövidíthető, ha viszont mindkét rendszer független, akkor ⟨u_{1}, …, u_{s}⟩ egyenlő az M oszlopai által generált altérrel, és így s = r(M).

4. Az alábbi M mátrixok esetében határozzuk meg a v ↦ Mv leképezés mag- és képterét, valamint rangját, és bontsuk fel a mátrixokat rangnyi sok diád összegére.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

5. Határozzuk meg az {x^{2} + 2x + 2, 2x^{2} − 3x + 6, 3x^{2} − 8x + 10} polinomrendszer rangját.

6. Bontsuk fel a síkon az origó középpontú forgatásokat és az origón átmenő egyenesekre való tükrözéseket két-két diád összegére.

7. Igazoljuk, hogy ha A és B összeadható lineáris leképzések, akkor r(A+B) ≤ r(A)+r(B). Adjunk példát arra az esetre, amikor egyenlőség áll, és arra is, amikor nem.

8. Legyenek A ∈ Hom(V, W) és B ∈ Hom(U, V). Igazoljuk, hogy a) Im(AB) ⊆ Im(A) és Ker(AB) ⊇ Ker(B);

b) ha AB injektív (illetve szürjektív), akkor B (illetve A) is az;

c) ha A és B is injektív (szürjektív, bijektív), akkor AB is az;

d) r(AB) = r(B) − dim(Ker(A) ∩ Im(B)) ≥ r(A) + r(B) − dim(V). Vezessük le ebből, hogy w̃v^{∗} csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényező nulla.

9. Legyenek V, W ugyanazon test feletti vektorterek, és v ∈ V egy rögzített vektor. Jelölje X azt a lineáris leképezést Hom(V, W)-ből W -be, ami az A leképezéshez A(v)-t rendeli. Határozzuk meg X rangját.

10. Éjfélkor a hétfejű sárkány megjelent a királylánynál, felírt egy 8 rangú, 13 × 21-es valós mátrixot a kéménybe, és a következőket mondta. „Minden reggel megváltoztathatod a mátrix egy elemét. Én minden éjjel eljövök, és én is megváltoztathatom a mátrix egy elemét. Ha a mátrix rangja 7 lesz, akkor azonnal felfallak.” Érdemes-e a királylánynak bejárni a lineáris algebra előadásra?

A sárkány a királylány hugát is meglátogatta. „Neked egy 8 rangú 8×8-as mátrixot kell most rögtön felírnod. Minden reggel meg kell változtatnod a mátrix egy elemét (tehát a most felírt mátrixot már holnap reggel is). Én minden éjjel eljövök, és én is megváltoztatom a mátrix egy elemét. Mindketten mindig kötelesek vagyunk egy-egy elemet ténylegesen meg is változtatni. Ha a mátrix rangját 7-té tudom tenni, akkor felfallak.” Ez a lány már korábban megtanulta a lineáris algebrát. Életben maradt-e?

11. Ha egy n × n-es M mátrix rangja r, mi lesz annak a mátrixnak a rangja, amelynek elemei az M megfelelő ((n − 1) × (n − 1)-es) előjeles aldeterminánsai?

12^{∗}. Mely r egészekhez van olyan k×n-es valós mátrix, amelynek rangja r, és egyik r×r-es aldeterminánsa sem nulla?