Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Harmadik alkalom

Egy A lineáris transzformáció nilpotens, ha van olyan n pozitív egész, hogy A^{n} = 0 (a nulla transzformáció), és A idempotens, ha A^{2} = A.

1. A II/11. feladat lineáris leképezéseinek határozzuk meg a kép- és magterét, és ellenőrizzük a dimenziótétel állítását.

2. Legyen W a V véges dimenziós vektortér tetszőleges altere. Bizonyítsuk be, hogy V -nek létezik olyan lineáris transzformációja, amelynek W a magtere, illetve a képtere.

3. Mely véges dimenziós vektortereknek van olyan lineáris transzformációja, melynek a képtere és a magtere ugyanaz?

4. Legyen V véges dimenziós vektortér, A : V → V pedig egy lineáris transzformáció. Ha Im(A^{2}) = Im(A), következik-e ebből, hogy Ker(A^{2}) = Ker(A)? Igaz-e a megfordítás?

5. Mutassuk meg, hogy ha A idempotens lineáris transzformáció a V vektortéren, akkor Im(A) ⊕ Ker(A) = V. Igazoljuk, hogy a sík egy lineáris transzformációja akkor és csak akkor idempotens, ha nulla, az identitás, vagy egy origón átmenő egyenesre való (nem feltétlenül merőleges) vetítés.

6. Igaz-e, hogy ha V véges dimenziós vektortér, akkor az A ∈ Hom(V) akkor és csak akkor nilpotens, ha nem létezik olyan W ≤ V nem nulla altér, hogy A(W) = W?

7. Igaz-e, hogy ha egy véges dimenziós V vektortér egy A lineáris transzformációja nilpotens, akkor tetszőleges W ≤ V nem nulla altérre dim A(W) < dim W? És a megfordítás?

8. Igazoljuk, hogy ha az A és B nilpotens, lineáris transzformációk felcserélhetők (azaz AB = BA), akkor A + B is nilpotens. Elhagyható-e a felcserélhetőség feltétele?

9. Legyen V egy n-dimenziós vektortér és v, w ∈ V. Alteret alkotnak-e Hom(V)-ben az alábbi halmazok? Ha igen, hány dimenziós ez az altér?

a) {A ∈ Hom(V) | A(v) = w};

b) {A ∈ Hom(V) | A(v) ∈ ⟨w⟩}.

10. Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér. Határozzuk meg Hom(V)-ben az izomorfizmusok által generált alteret.

11. Igazoljuk, hogy az izomorfia ekvivalencia-reláció (bármilyen struktúrák között).

12. Legyen V vektortér a T test felett, és A : V → Hom(Hom(V, T), T) az a leképezés, amire [A(v)](f) = f(v) minden f ∈ Hom(V, T) és v ∈ V esetén. Igazoljuk, hogy A injektív, és pontosan akkor izomorfizmus, ha V véges dimenziós.

13. Adjunk meg olyan A és B lineáris transzformációkat egy végtelen dimenziós V vektortéren, melyekre AB = I (az identitás), de BA nem az.

14. Mutassuk meg, hogy egy lineáris leképezés akkor és csak akkor kölcsönösen egyértelmű, ha alkalmas bázispárban mátrixa az egységmátrix.

15^{∗}. Legyen V véges dimenziós vektortér egy végtelen test felett. Mely A lineáris transzformációkhoz található olyan bázis, amelyben az A mátrixa egyetlen nullát sem tartalmaz?