Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Második alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi vektorterek dimenzióját.

a) A komplex számok vektortere ℝ felett.

b) A legfeljebb n-edfokú T feletti polinomok a T test felett.

c) A T^{2×3} a T test felett.

d) A legfeljebb n-edfokú ℂ feletti polinomok ℝ felett. Mi általában az összefüggés egy vektortér ℝ és ℂ feletti dimenziója között?

e) Azon legfeljebb n-edfokú ℚ feletti polinomok ℚ felett, melyeknek 2 gyöke.

f) Az ℝ^{n} azon elemei ℝ felett, ahol az első koordináta is, a koordináták összege is 0.

g) A T^{n×n} (főátlóra) szimmetrikus mátrixai a T test felett.

2. Egy ℤ_{2} feletti háromdimenziós vektortérben hány direkt kiegészítő altere van egy egydimenziós altérnek?

3. Legyen V véges dimenziós vektortér, és U, W alterek V -ben. Bizonyítsuk be, hogy dim(U + W) = dim(U) + dim(W) − dim(U ∩ W).

4. Egy tízdimenziós térben kiválasztunk három kilencdimenziós alteret. Mekkora lehet a metszetük dimenziója? Adjunk példát minden lehetséges értékre.

5. Mutassuk meg, hogy n ≥ 2 esetén minden ℝ feletti n-dimenziós vektortérnek végtelen sok n − 1-dimenziós altere van.

6^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha V végtelen dimenziós vektortér, akkor minden r racionális számhoz megadható V -ben egy V_{r} altér úgy, hogy r < s ∈ ℚ esetén V_{r} ⫋ V_{s}.

7^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy végtelen test feletti vektortér nem áll elő véges sok valódi alterének uniójaként.

8^{∗∗}. Igazoljuk, hogy ha U, V, W véges dimenziós alterek egy vektortérben, akkor az (U ∩ V) + (U ∩ W) + (V ∩ W) és (U + V) ∩ (U + W) ∩ (V + W) alterek dimenzióinak különbsége páros szám. Melyik altér a nagyobb?

9 (Fontos gyakorló HF). Igazoljuk, hogy tetszőleges leképezések között a kompozíció művelete mindig asszociatív, továbbá, hogy lineáris leképezések kompozíciója és skalárszorosa is lineáris leképezés. Mutassuk meg, hogy ha V és W vektorterek T felett, akkor Hom(V, W) vektortér, Hom(V) pedig algebra T felett. Igazoljuk az alábbi összefüggéseket: [λv]_{b} = λ[v]_{b}, [AB]_{c/a} = [A]_{c/b}[B]_{b/a}, [A + B]_{b/a} = [A]_{b/a} + [B]_{b/a}, [λA]_{b/a} = λ[A]_{b/a}. Mely struktúrák közötti melyik leképezés művelettartását fejezik ki ezek az összefüggések?

Bizonyos vektorterekben egy-egy bázist a „szokásos” bázisnak nevezzük. Ezek a következők. A T test feletti T^{n} vektortérben azon b_{1}, …, b_{n} vektorok, melyekre b_{i}-nek az i-edik komponense 1, a többi komponens nulla. A T^{k×n} vektortérben azok a mátrixok, melyekben egyetlen komponens 1, a többi nulla (ezeket a sorfolytonosság sorrendjében tekintjük). A T [x] legfeljebb n-edfokú elemeiből álló vektortérben az {1, x, x^{2}, …, x^{n}} bázis. A síkon, mint ℝ feletti vektortéren az (1, 0), (0, 1) pontok. A ℂ -ben, mint ℝ feletti vektortérben az 1 és az i. Egy T testben, mint önmaga feletti vektortérben az egységelem.

Fordíts!

10. Mutassuk meg, hogy a síkon az (1, 2) és (3, 4) pontok(hoz tartozó helyvektorok) bázist alkotnak. Mik ebben a bázisban az (5, 7) pont koordinátái?

11. Az alábbi A : V_{1} → V_{2} leképezések közül melyek lineárisak? Ahol a válasz igenlő, ott adjuk meg a leképezés mátrixát is a szokásos, illetve a megadott bázis(pár)ban.

a) V_{1} és V_{2} a sík ℝ felett, A egy eltolás; egy pont körüli forgatás; egy egyenesre (pontra) való tükrözés; egy egyenesre való vetítés. A mátrixot csak az origó körüli α szögű forgatás; az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges vetítés esetében számítsuk ki, a szokásos, illetve a b_{1} = (1, 2), b_{2} = (−1, 1) bázisban.

b) V_{1} = ℝ az ℝ felett, V_{2} = ℂ a ℂ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

c) V_{1} = V_{2} = ℂ az ℝ felett, A az 1 + i számmal való szorzás.

d) V_{1} = ℝ^{n}, V_{2} = ℝ az ℝ felett, A(v) a v komponenseinek az összege.

e) V_{1} = V_{2} = ℝ^{2×2} az ℝ felett, A a transzponálás (azaz a főátlóra való tükrözés).

f) V_{1} = ℝ[x] legfeljebb harmadfokú elemei, V_{2} = ℂ az ℝ felett, A(f) = f(i).

g) V_{1} = V_{2} = ℝ[x] legfeljebb n-edfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

12. Ha egy lineáris transzformáció mátrixa egy adott bázisban M, mi lesz a mátrix akkor, ha mindegyik bázisvektort (csak az első bázisvektort) a kétszeresére növeljük? A sík mely lineáris transzformációinak lesz minden bázisban ugyanaz a mátrixa?

13. Egy transzformáció mátrixa a sík szokásos bázisában ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ). Adjuk meg a bá-

zistranszformáció képletét felhasználva ennek a transzformációnak a mátrixát az (1, 1), (1, 2) bázisban.

14. Alteret alkotnak-e a sík lineáris transzformációinak vektorterében azok a leképezések, melyek az y = x egyenest az x-tengely egy részhalmazába képzik?

15. Legyen A : V_{1} → V_{2} lineáris leképezés. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha A szürjektív, akkor generátorrendszert generátorrendszerbe visz.

b) Ha A valamilyen halmazt generátorrendszerbe visz, akkor szürjektív.

c) Ha A injektív, akkor független halmazt függetlenbe visz.

d) Ha A egy bázist függetlenbe visz, akkor injektív.

16. Legyen A lineáris leképezés. Igazoljuk az alábbiakat (a leképezéseket balról írjuk). a) Van olyan B lineáris leképezés, hogy ABA = A és BAB = B.

b) Ha A szürjektív, akkor B jobbinverze, ha A injektív, akkor B balinverze A-nak.

c) (AX = AY ⟹ X = Y) ⟺ A injektív ⟺ A balinvertálható.

d) (XA = Y A ⟹ X = Y) ⟺ A szürjektív ⟺ A jobbinvertálható.

17^{∗}. Legyen A egy k × k-as mátrix, melynek egy hatványa nulla. Igazoljuk, hogy A^{k} = 0.

18. Algebrát alkotnak-e ℝ felett az ℝ-en értelmezett, valós értékű, folytonos függvények a szokásos, pontonkénti műveletekre? És akkor, ha a szorzást a kompozícióval helyettesítjük?

19. Legyen R egységelemes gyűrű, és T az egységelemet tartalmazó részteste R-nek. Mi a feltétele annak, hogy R a „szokásos” műveletekre algebrát alkosson T felett? Konstruáljunk ℝ felett n-dimenziós algebrát minden n ≥ 1 egészre.

További gyakorlásul a Freud-könyv negyedik és ötödik fejezetének feladatait javaslom, leginkább az alábbiakat: 4.2.7, 5.1.15, 5.3.4, 5.4.3, 5.7.8.