Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Tizedik alkalom

1. Osztályozzuk az alábbi csoportokat aszerint, hogy melyek izomorfak közülük: ℤ_{2}^{+}, ℤ_{3}^{+}, ℤ_{4}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ_{3}^{×}, ℤ_{5}^{×}, ℤ_{6}^{×}, ℤ_{8}^{×}, ℤ_{12}^{×}, S_{2}, A_{3}, S_{3}, D_{3}, D_{4}, Q (a kvaterniócsoport), GL(2, 2).

2. Van-e a kocka szimmetriacsoportjának S_{4}-gyel izomorf részcsoportja?

3. Keressük meg S_{4}-nek azt a részcsoportját, amit a Cayley-tétel bizonyítása a Kleincsoporthoz rendel. Tegyük meg ugyanezt S_{6}-ban a D_{3} csoporttal is.

4^{∗}. Mely véges csoportoknak van csak egy maximális részcsoportja?

5. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy homomorfizmusok-e. Ha igen, határozzuk meg a magjukat és a képüket.

a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} = GL(n, T), G_{2} = T^{×}, φ(A) = det(A).

f) G_{1} = S_{n}, G_{2} = ℤ^{×}, φ(f) az f előjele (azaz ±1).

g) G_{1} = ℤ^{+}, G_{2} = ℤ_{n}^{+}, φ(a) az a maradéka mod n.

h) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

i) G_{1} = D_{n}, G_{2} = ℤ_{2}^{+}, φ(x) = 0 ha x forgatás, 1 ha x tengelyes tükrözés.

j) G_{1} = ℝ[x]^{+}, G_{2} = ℂ^{+}, φ(f) = f(i).

6. A homomorfizmus-tétel alapján igazoljuk a következő izomorfizmusokat.

a) ℂ^{×}/egységkör ≅ pozitív valós számok a szorzásra . Milyen geometriai alakzatok ennek a faktorcsoportnak az elemei?

b) ℝ^{+}/ℤ^{+} ≅ komplex egységkör a szorzásra .

c) S_{n}/A_{n} ≅ ℤ^{×}.

d) ℤ^{+}/nℤ^{+} ≅ ℤ_{n}^{+}.

7. Állapítsuk meg az alábbi faktorcsoportok elemeinek rendjeit, és írjuk fel a szorzástábláikat: D_{4}/{e, f^{2}}, S_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. A kapott faktorok izomorfak-e valamilyen ismert csoporttal?

8. Állapítsuk meg, milyen ismert csoporttal izomorfak az alábbi faktorok:

a) D_{8}/{e, f^{2}, f^{4}, f^{6}}.

b) A_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(32)}.

c) D_{n}/{e, f, f^{2}, …, f^{n−1}}.

d) ℤ_{16}^{×}/{1, 9}.

9. Legyen N normálosztó a G csoportban. Rendeljük hozzá G/N tetszőleges K részcsoportjához a K elemeinek uniójából képzett L halmazt. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) L részcsoport G-ben, melynek indexe G-ben ugyanaz, mint K indexe G/N-ben.

b) Az így megadott megfeleltetés bijekció G/N összes részcsoportja, és a G csoport N-et tartalmazó részcsoportjai között.

Fordíts! c) Ennél a megfeleltetésnél G/N normálosztói éppen a G csoport N-et tartalmazó nor-

málosztóinak felelnek meg.

d) K ≅ L/N, és ha K normálosztó, akkor (G/N)/K ≅ G/L.

10. Állapítsuk meg az alább felsorolt csoportok konjugált osztályait, normálosztóit és centrumát: D_{4}, Q, D_{3}, D_{5}, S_{4}, S_{5}, A_{4}, A_{5}, GL(2, 2).

11. Legyen N kételemű normálosztó a G csoportban. Igazoljuk, hogy N ≤ Z(G).

12. Mutassuk meg, hogy ha egy G csoport azon elemei, melyeknek a négyzete az egységelem, részcsoportot alkotnak, akkor ez egyben normálosztó is. Igaz-e mindig, hogy ez a részhalmaz részcsoport?

13. Bizonyítsuk be, hogy ha G/Z(G) ciklikus csoport, akkor G Abel.

14. Igazoljuk, hogy GL(n, T) centruma az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból áll.

15. Legyen p > 2 prím. A GL(3, p) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlója alatt csupa 0, a főátlójában pedig csupa 1 áll. Igazoljuk, hogy egy p^{3} elemszámú G részcsoportot kaptunk, mely nem kommutatív, és minden egységtől különböző eleme p rendű. Határozzuk meg ennek a csoportnak a centrumát.

16. Legyen G tizedrendű nemkommutatív csoport. Bizonyítsuk be a következő állításokat. a) G-ben nincs tizedrendű elem.

b) Ötödrendű elem nem lehet felcserélhető másodrendű elemmel.

c) G-ben nem lehet minden elem másodrendű (vö. IX/7.).

d) G-ben van másodrendű elem (vö. IX/13.).

e) G-ben van ötödrendű elem.

f) Minden ötödrendű elem centralizátora ötelemű.

g) Minden másodrendű elem centralizátora kételemű.

h) G-ben öt darab másodrendű elem van, és ezek mind konjugáltak.

i) G-ben négy darab ötödrendű elem van.

j) Ha |f| = 5 és |t| = 2, akkor tft^{−1} = f^{−1}.

k) G ≅ D_{5}. Hogyan általánosítható ez a gondolatmenet, ha G rendje egy prím kétszerese?

17. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, és N nemtriviális normálosztó P -ben, akkor |N ∩ Z(P)| > 1.

18^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, akkor minden p indexű részcsoportja normálosztó.

19. Bizonyítsuk be, hogy az S_{n} csoportban két elem akkor és csak akkor konjugált, ha a ciklusfelbontásuk „egyforma”, azaz a két felbontásban az azonos hosszúságú ciklusok száma megegyezik. Vezessük le ebből azt az elmúlt félévben gyakorlaton már bizonyított állítást, hogy S_{n}-ben az (12 … n) elem centralizátora a saját hatványaiból áll.

20^{∗}. Mutassuk meg az előző feladat eredményéből kiindulva, n szerinti indukcióval, hogy A_{n} egyszerű, ha n ≥ 5.

21^{∗}. Milyen n-ekre van S_{n}-ben Q-val izomorf részcsoport?