Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Első alkalom

1. Igazoljuk tetszőleges T test feletti V vektortérben az alábbi állításokat.

a) (∀λ ∈ T)(∀v ∈ V)(λv = 0_{V} ⟺ (λ = 0_{T} ∨ v = 0_{V})).

b) (∀v ∈ V)((−1_{T})v = −v).

2. Legyen V = {a, b}, definiáljuk az „összeadást” úgy, hogy a + a = a + b = b + a = a, és b + b = b. Definiáljuk továbbá tetszőleges λ ∈ ℝ és v ∈ V esetén λv-t v-nek. Mely vektortéraxiómák teljesülnek? Igaz-e, hogy (−1)v ellentettje v-nek minden v ∈ V -re? A (−1)v = −v összefüggés bizonyításában hol használtuk ki, hogy V -ben létezik ellentett?

3. Igazoljuk, hogy az összeadás kommutativitása következik a többi vektortéraxiómából.

4. Altér-e a W halmaz a V vektortérben az alábbi esetekben?

a) V = T [x] a T test felett, W a páros fokú polinomok, és a zéruspolinom.

b) V = T [x] a T test felett, W a legfeljebb tizedfokú polinomok, és a zéruspolinom.

c) V a komplex számok vektortere ℝ illetve ℂ felett, és W = {z | Re(z) = 0}.

d) V a sík ℝ felett, W pedig az első és harmadik síknegyed uniója.

5. Adjunk példát olyan V vektortérre, és W részhalmazra, mely az összeadásra zárt, de az ellentett képzésére nem. Mutassuk meg, hogy egy vektortér egy részhalmaza akkor és csak akkor altér, ha nem üres, és zárt a vektortérműveletekre.

6. Az alábbiakban négy bizonyítást adunk arra, hogy egy altér nulleleme megegyezik a vektortér nullelemével, ezek közül azonban csak az egyik helyes. Melyik a helyes, és mi a hiba a többiben? (Altéren itt olyan W részhalmazt értünk, ami maga is vektortér V összeadására és skalárral való szorzására nézve. A V nullelemét 0_{V}, a W -ét 0_{W} jelöli.)

a) Mivel 0_{V} + v = v minden v ∈ V -re, tehát W elemeire is teljesül, ezért 0_{V} definíció szerint W -nek is nulleleme. A W -beli nullelem egyértelműsége alapján így 0_{W} = 0_{V}.

b) Ha 0_{W} ≠ 0_{V} lenne, akkor V -ben két nullelem lenne, ami ellentmond a V -beli nullelem egyértelműségének.

c) Legyen v ∈ W tetszőleges. Ekkor 0_{V} + v = v és 0_{W} + v = v egyaránt fennáll, tehát 0_{V} + v = 0_{W} + v. Itt mindkét oldalhoz a v vektor W -beli [a negyedik bizonyításban: V -beli] ellentettjét hozzáadva a kívánt 0_{V} = 0_{W} egyenlőséget kapjuk.

7. Legyen W altere az ℝ feletti V vektortérnek, és u, v ∈ V. Tegyük fel, hogy 2u+6v ∈ W és 3u + v ∈ W. Következik-e ebből, hogy u, v ∈ W?

8. Igaz-e ℝ felett, hogy x ∈ ⟨x^{2} −1, x^{2} −2, 3x+2⟩? És ⟨x, x^{2} +2, x+2⟩ = ⟨1, x+1, x^{2} +1⟩?

9. Ha egy V vektortér vektoraira a ∉ ⟨b, c⟩, b ∉ ⟨a, c⟩ és c ∈ ⟨a, b⟩, akkor mi a c?

10. Legyen V vektortér a T test felett.

a) Mi az üres halmaz által generált altér?

b) Mutassuk meg, hogy egy 1 elemmel generált altérnek legfeljebb két altere lehet.

c) Mikor lesz két altér uniója is altér?

d) Mutassuk meg, hogy ha U, V, W alterek egy vektortérben és U ⊇ V, akkor fennáll az úgynevezett moduláris összefüggés: U ∩ (W + V) = (U ∩ W) + V.

Fordíts!

11. Mutassuk meg, hogy ha egy ℝ feletti vektortérnek véges sok altere van, akkor az alterek száma 1 vagy 2. Milyen T testek felett igaz még ez az állítás?

12. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorrendszerek?

a) Az ℝ feletti ℝ^{3} vektortérben az alábbi mátrixok oszlopvektorai.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az ℝ feletti ℝ[x] vektortérben {1, x, x^{2}}, {x, 2x, x^{2}, x^{3}}, {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x}, {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}}.

c) Az ℝ feletti ℂ vektortérben tetszőleges három komplex szám.

13. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha egy vektorrendszerben szerepel a nullvektor, akkor az nem lehet független.

b) {v} akkor és csak akkor független, ha v ≠ 0.

c) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor {v_{1} + v_{2}, v_{2}, v_{3}} is független.

d) Páronként különböző fokú polinomok rendszere mindig független.

14. Tegyük fel, hogy egy vektortér a, b, c, d vektoraira {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} mindegyike összefüggő, de {a, b, c} független. Határozzuk meg d-t.

15. Legyenek v_{1}, …, v_{n} vektorok egy V vektortérben. Ha a v_{i} + v_{j} (1 ≤ i < j ≤ n) vektorok rendszere lineárisan független, mennyi lehet n?

16^{∗}. Meg lehet-e adni ℝ^{n}-ben végtelen sok vektort úgy, hogy közülük bármely n lineárisan független legyen?

17. Az alábbi állítások közül melyek igazak egy n-dimenziós V vektortérben? a) Ha F független is és generátorrendszer is, akkor F maximális független részhalmaz.

b) Ha F maximális független, akkor generátorrendszer.

c) Ha G minimális generátorrendszer, akkor független.

d) Bármely két generátorrendszer egyenlő elemszámú.

e) Bármely két minimális generátorrendszer egyenlő elemszámú.

f) Ha F elemszáma n, és független, akkor generátorrendszer (bázis) is.

g) Ha G elemszáma n, és generátorrendszer, akkor független (bázis) is.

h) Bármely n elemű részhalmaz generátorrendszer.

i) Van olyan n + 1 elemű részhalmaz, ami generátorrendszer.

18. Legyen V a sík (helyvektorai), mint ℝ feletti vektortér.

a) Milyen alakzatot alkothat egy 1 illetve 2 elemmel generált altér?

b) Igazoljuk, hogy minden altér generálható két elemmel, és adjuk meg az összes alteret.

c) Hány altere van a ℤ_{2} test feletti ℤ_{2}^{2} és ℤ_{2}^{3} vektortereknek? És a ℤ_{7} feletti ℤ_{7}^{2}-nek?

19^{∗}. A szultán gondolt ℝ^{1001}-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egy általa választott vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé? Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?