Alkalmazott matematikus szak, első évfolyam, második félév Második zárthelyi — megoldásvázlatok

1. Például (x_{1} + x_{2})^{2} − x_{2}^{2} + x_{3}^{2}, ami indefinit.

2. Az elemi osztók (asszociáltság erejéig) 1, 1, x, x^{3} − x^{2}, ez utóbbi a minimálpolinom. Ezért a Jordan-alakban a nulla sajátértékhez egy 2 × 2-es és egy 1 × 1-es blokk, az 1 sajátértékhez egy 1 × 1-es blokk tartozik.

3. Az egyenesnek egy olyan P = (z, z, zi, −zi)^{T} pontját keressük, melyre teljesül, hogy a (z, z, zi, −zi)^{T} − (i, −i, 1, −1)^{T} vektor merőleges az egyenesre, vagyis az (1, 1, i, −i)^{T} vektorra. A skaláris szorzatot felírva z − i + z + i + \overline{i}(zi − 1) + \overline{−i}(−zi + 1) = 0 adódik, ahonnan z = −i/2 (4 pont). A keresett távolság e különbségvektor hossza, azaz \sqrt{5} (2 pont).

4. A W altér A-invariáns, mert ha w ∈ W, akkor A^{2}w = Aw, innen A(A^{2}w) = A(Aw), azaz A^{2}(Aw) = A(Aw), tehát Aw ∈ W (2 pont). A minimálpolinom gyökei a sajátértékek, tehát van olyan 0 ≠ u ∈ V, hogy Au = 0 és olyan 0 ≠ v ∈ V, hogy Av = v (2 pont). Nyilván u, v ∈ W (1 pont), és mivel ezek függetlenek, dim W ≥ 2 (1 pont).

5. Érdemes volt. Legyen u és v az utolsó két bázisvektor, akkor tehát azt tudjuk, hogy B(v, u) = i és B(v, v) = 0. Ez ellentmond a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenségnek. (A gondolatmenet −B-re is megy, tehát az alak valójában indefinit).

6. Igen. Az AA^{∗} unitér, ezért ortonormált bázisban diagonalizálható, és a diagonálisban álló sajátértékek abszolút értéke 1. Legyen λ egy ilyen sajátérték, és b a hozzá tartozó bázisvektor, ekkor λ = ⟨b, λb⟩ = ⟨b, AA^{∗}b⟩ = ⟨A^{∗}b, A^{∗}b⟩, ami nemnegatív valós szám. Ezért λ = 1, vagyis AA^{∗} az identitás, tehát A unitér, vagyis normális.