Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Kilencedik alkalom

1. Legyen T a sík egy transzformációja, ami nem nyújtás. Igazoljuk, hogy ha T diagonalizálható, akkor négy invariáns altere van, ha nincs valós sajátértéke, akkor kettő, különben pedig három. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér.

2. Melyek azok a transzformációk, melyekre minden altér invariáns?

3. Mutassuk meg, hogy ha AB = BA, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és Ker(A) is B-invariáns altér.

4. Adjuk meg az alábbi mátrixok Jordan-alakját, és számítsuk ki az M^{n} sorozat határértékét midőn n tart a végtelenhez.

( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  M = ( \begin{matrix}−3 & −4 & 1 \\ 6 & 9 & −2 \\ 15 & 24 & −5 \end{matrix} )

5. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák?

a) A valós együtthatós polinomok az összeadásra nézve ℚ felett a q ∘ p(x) = qp(1) (mint konstans polinom) szorzással.

b) A G = ℝ^{+} × ℝ^{+} Abel-csoport az ℝ gyűrű felett az r ∘ (a, b) = (ra, rb) szorzással.

c) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra, 0) szorzással.

d) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra + rb, ra − rb) szorzással.

e) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra, sb) szorzással.

f) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra − sb, rb + sa) szorzással.

g) Tetszőleges A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

h) Ha S részgyűrűje R-nek, akkor R az S felett, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás).

i) Ha S balideálja R-nek, akkor S az R felett, ahol az összeadás az S-beli összeadás, és r ∘ s = rs (R-beli szorzás).

j) Egy halmaz összes részhalmaza a kételemű test felett, az összeadás a szimmetrikus differencia képzése, 0 ∘ H = ∅, 1 ∘ H = H.

6. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

7. Legyen

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) és u = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

a) Mutassuk meg, hogy az M = ℝ^{3} a pv = p(A)v definícióval ℝ[x]-modulus.

b) Igazoljuk, hogy u generálja M-et (azaz M ciklikus).

c) Mutassuk meg, hogy az A-invariáns alterek éppen a részmodulusok.

d) Adjunk meg egy „szép” bijekciót M részmodulusai és x(x − 1)^{2} osztói között.

8. Az alább megadott M modulusok megadott X generátorrendszeréhez készítsük el az alaptétel bizonyításában használt mátrixot, hozzuk ezt normálalakra, és ennek alapján bontsuk fel M-et ciklikus modulusok direkt összegére.

a) M = ℤ_{6}^{+} a ℤ felett, X = {2, 3}.

b) M = ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2}^{+} × ℤ_{3}^{+} a ℤ felett, X = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

c) M = ℂ^{n} mint a ℂ[x] feletti, az alább megadott mátrixokhoz tartozó szokásos modulus, X pedig ℂ^{n} szokásos bázisa.

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} )

9. Az alábbiakban megadjuk egy-egy komplex elemű (ismeretlen) mátrix determinánsosztóit. Döntsük el, van-e ilyen mátrix, és ha igen, akkor adjuk meg a minimálpolinomját és a Jordan-féle normálalakját.

a) {1, 1, x^{2}}.

b) {1, x, x^{2}, x^{3}}.

c) {1, 1, x, x^{3}}.

d) {1, 1, x^{2}, x^{3}}.

e) {1, 1, 1, x^{3}}.

f) {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, x, x^{2}(x − 1)^{2}, x^{5}(x − 1)^{4}}.

10. Mi annak a mátrixnak a Jordan-alakja, amelyben a diagonálissal párhuzamos, alatta lévő második ferde vonalban csupa egyesek vannak, azon kívül pedig csupa nullák?

11^{∗}. Igaz-e, hogy minden komplex elemű négyzetes mátrix hasonló a transzponáltjához?

12^{∗}. Igazoljuk, hogy végtelen test felett egy lineáris transzformációnak akkor és csak akkor van véges sok invariáns altere, ha minimálpolinomjának foka megegyezik a tér dimenziójával. Hány invariáns altér van ilyenkor?

13. Bizonyítsuk be, hogy ha M komplex elemű mátrix, akkor n → ∞ esetén M^{n} akkor és csak akkor tart nullához, ha M minden sajátértékének az abszolút értéke 1-nél kisebb.

14. Tegyük fel, hogy A egy olyan lineáris transzformáció egy n-dimenziós téren, melynek n különböző sajátértéke van. Igazoljuk, hogy A-nak pontosan 2^{n} invariáns altere van. Igazoljuk azt is, hogy ha B felcserélhető A-val, akkor van olyan f polinom, hogy B = f(A).

15. Legyen A lineáris transzformáció egy komplex feletti n-dimenziós vektortéren. a) Igazoljuk, hogy ha k ≤ n, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

b) Mik lesznek A hatványainak sajátértékei? Mit mondhatunk ezek multiplicitásairól?

16. Legyen A ∈ Hom(V) és v ∈ V. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) W = ⟨v, Av, A^{2}v, … ⟩ épp a v-t tartalmazó legszűkebb A-invariáns altér.

b) dim(W) = gr(m_{A,v}) (m_{A,v} az V/20. feladatban definiált polinom).

c) Ha m_{A}-nak van k-adfokú irreducibilis osztója, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

d) Egy lineáris transzformáció karakterisztikus polinomja akkor és csak akkor irreducibilis, ha a transzformációnak csak két invariáns altere van (a triviálisak).

e) Van olyan M ∈ ℚ^{100×100} mátrix, melynek csak a két triviális invariáns altere van.