Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Kilencedik alkalom

1. Oldjuk meg az alábbi kongruenciarendszereket (ez négy külön feladat).

\begin{matrix}x ≡ 3 & (14) \\ x ≡ 6 & (21) \end{matrix}\}  \begin{matrix}x ≡ 2 & (14) \\ x ≡ 9 & (21) \end{matrix}\}  \begin{matrix}5x ≡ 2 & (14) \\ x ≡ 6 & (21) \end{matrix}\}  \begin{matrix}2x ≡ 4 & (14) \\ x ≡ 9 & (21) \end{matrix}\}

2. Melyik az a második legkisebb pozitív egész szám, amely 2-vel osztva 1-et, 5-tel osztva 3-at, 7-tel osztva pedig 4-et ad maradékul?

3. Egy k egész szám 4-gyel osztva 3-at, 6-tal osztva 1-et, 15-tel osztva pedig 13-at ad maradékul. Mit kapunk maradékul, ha a k számot maradékosan osztjuk 20-szal?

4. Oldjuk meg az x^{2} ≡ 1 (n) kongruenciát, ha n rendre 7, 31, 14, 30, 8, 9, 40 (vö. VI/10).

5. Nevezzünk („házi” használatra) egy legfeljebb k-jegyű pozitív egészet k jegyű öröklődő számnak, ha a négyzetének utolsó k jegye éppen az eredeti számot adja (pl. a 25 öröklődő kétjegyű szám a tizes számrendszerben, hiszen 25^{2} = 625; a 4 nem öröklődő egyjegyű szám a tizes számrendszerben, de öröklődő egyjegyű szám a hatos számrendszerben; a 0 és az 1 minden számrendszerben minden k-ra k jegyű öröklődő szám).

a) Határozzuk meg a tizes számrendszerben az egyjegyű öröklődő számokat.

b) Határozzuk meg a 7 alapú számrendszerben az egy-, majd a kétjegyű öröklődő számokat.

c) Határozzuk meg a tizes számrendszerben a kétjegyű öröklődő számokat.

d) Mutassuk meg, hogy a 10-es számrendszerben legfeljebb négy darab kilencvenjegyű öröklődő szám van.

6. Tegyük föl, hogy (s_{n}) egy pozitív egész számokból álló végtelen számtani sorozat, ami nem konstans. Igazoljuk, hogy a sorozatnak létezik 100 olyan egymás utáni tagja, amelyek

a) mindegyike összetett szám;

b) egyike sem köbszám.

7. Legyenek a és b egymáshoz relatív prím pozitív egészek. Tegyük fel, hogy 1 ≤ r ≤ a, 1 ≤ s ≤ b, és (r, a) = 1 valamint (s, b) = 1. Mutassuk meg, hogy létezik pontosan egy olyan 1 ≤ x ≤ ab egész, amely relatív prím ab-hez, és amelyre x ≡ r (a) és x ≡ s (b).

8. Oldjuk meg kongruenciarendszerek felhasználásával (is) a VI/2, 8, 9 feladatokat.

9. Gondoltam egy számot 200 és 2000 között. Ha a szám 501-edik és 201-edik hatványának összegéhez még a számot is hozzáadjuk, az eredmény 998-ra végződik. Mire gondoltam?

10. Igazoljuk, hogy minden n egészre 930930 | n^{61} − n.

11. Mi 49^{4950} utolsó két jegye a tizes számrendszerben?

12. Határozzuk meg 43^{43^{.^{.^{.43}}}} illetve (… ((43^{43})^{43}) …)^{43} utolsó számjegyét a 49 alapú számrendszerben. Mindkét kifejezésben 43 darab 43 szerepel.

13. A tizes számrendszerben n > 1 darab 1-esből álló szám lehet-e négyzetszám?