Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Hatodik alkalom

1. Oldjuk meg az alábbi ismeretlenes kongruenciákat:

a) 202x ≡ 157 (203).

b) 309x ≡ 451 (617).

c) 5x ≡ 561 (1968).

d) 105x ≡ 741 (809).

2. Az egészkor elindított szalagról 14 percenként jön le egy tévé. Mutathat-e az óránk egy ilyen pillanatban egész óra 27 percet? És egész óra 2 percet? Mikor fordul ez először elő?

3. Mit ad maradékul 312^{1999^{2001}} a 313-mal maradékosan osztva?

4. Mutassuk meg, hogy 2^{2^{6n+2}} + 3 minden n természetes számra osztható 19-cel.

5. Legyen p tetszőleges prímszám. Igazoljuk a következőket:

a) \binom{2p − 1}{p − 1} ≡ 1 (p).

b) Ha k egész, és 1 ≤ k ≤ p − 1, akkor \binom{2p − k}{p − k} ≡ 1 (p).

6. Legyen m > 1 egész. Milyen maradékot adhat (m − 1)! az m-mel maradékosan osztva?

7. Legyen p prím.

a) Mit ad maradékul (p − 2)! a p-vel maradékosan osztva?

b) Mit ad maradékul (p − 3)! a p-vel maradékosan osztva?

c) Igazoljuk, hogy p^{2}|(2p − 1)! − p.

d) Mit ad maradékul (p + 1)! − p! a p^{3}-nel maradékosan osztva?

e) Mutassuk meg, hogy p^{p}|(p^{2} − 1)! − p^{p−1}.

8. Egy kisbaba ötóránként eszik (éjjel-nappal), először hétfő reggel nyolckor. a) Melyek azok a napok az első két héten (vasárnapig bezárólag), amikor délben eszik?

b) Melyik az első olyan hét, amikor a menetrend az első hetivel azonos?

9. Adjuk meg az összes olyan ötszáznál kisebb pozitív egészet, mely a tizes számrendszerben kilencre, a tizenhármas számrendszerben egyre végződik.

10. A 210 alapú számrendszerben hány olyan egyjegyű szám van, melynek négyzete egyre végződik? Általánosítsuk a feladatot!

11. Igazoljuk az alábbi oszthatóságokat (n ≥ 0 tetszőleges egész).

a) 7 | 2^{n+2} + 3^{2n+1}.

b) 13 | 2^{70} + 3^{70}.

c) 641 | 2^{25} + 1 (Euler). Használjuk fel, hogy 2^{7} · 5 = 640 ≡ −1 (641) és 2^{4} ≡ −5^{4} (641).

d) a − b | a^{n} − b^{n} (a, b ∈ ℤ).

e) 7 | 4^{n} · 3^{2n} + 6^{2n+1}.

f) 17 | 5^{2n+1}2^{4n} + 3^{4n+1}53^{n+2}.

12. Egy bolha ugrál egy szabályos n-szög csúcsain úgy, hogy mindig k élnyit halad előre. Hányat kell ugrania, hogy visszakerüljön a kiindulópontba? Hány kört tesz meg ezalatt?