Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Ötödik alkalom

1. Melyik az a legkisebb n > 0 egész szám, melyre d(n) értéke a) 11; b) 10; c) 9; d) 8?

2. Oldjuk meg a d(3n) = 2d(n), a d(3n) = 3d(n) és a d(3n) = d(2n) egyenleteket.

3. Mely természetes számoknak van kevesebb 3-mal osztható osztójuk, mint 3-mal nem osztható?

4. Legyen n pozitív egész.

a) Mely n-ekre lesz d(n) értéke n, n − 1, illetve n − 2?

b) Igazoljuk, hogy d(n) ≤ (n/2) + 1.

c) Igazoljuk, hogy d(n) ≤ (n/3) + 2.

d) Igazoljuk, hogy d(n) ≤ 2\sqrt{n}.

5. Oldjuk meg a σ(2n) = 2σ(n) illetve a σ(2n) = 3σ(n) egyenleteket.

6. Adjuk meg a σ(n) = n + k egyenlet összes megoldását abban az esetben, ha k = 5, 14, illetve 1.

7. Igazoljuk, hogy ha n > 1 egész, és n nem prím és nem is egy prímszám négyzete, akkor σ(n) ≥ (\sqrt{n}+1)^{2}. Mely pozitív k értékekre van végtelen sok megoldása az előző feladatban szereplő egyenletnek?

8. Igazoljuk, hogy minden pitagoraszi számhármasban van 3-mal, van 4-gyel és van 5-tel osztható szám is.

9. Lehet-e egy pozitív egésznek több 3k + 2 alakú pozitív osztója, mint 3k + 1 alakú?

10. Egy sah börtönének 400 cellájában egy-egy rab sínylődik. A zárak egy elfordításra nyílnak, még egy elfordításra csukódnak. Eredetileg minden ajtó zárva van. A sah elhatározza, hogy nagylelkű lesz, és megparancsolja az egyik őrnek, hogy fordítson egyet valamennyi záron. Közben azonban meggondolja magát, és utánaküld egy másik őrt, hogy minden második záron fordítson egyet. A harmadik őr minden harmadik záron változtat, stb., végül a négyszázadik őr a négyszázadik cella zárjának állását módosítja. Azok szabadulnak ki, akiknek most nyitva áll az ajtaja. Hány rabot bocsátott szabadon a sah?

11. Tegyük fel, hogy a, b, d pozitív egészek, és d | ab. Igazoljuk, hogy léteznek olyan x, y pozitív egészek, amelyekre x | a, y | b, és d = xy. Mikor egyértelmű az x, y számpár?

12. Oldjuk meg a σ(5n) = 6σ(n), a σ(5n) = 16σ(n) és a σ(5n) = 90 + σ(n) egyenleteket.

13. Legyen p prímszám, k nemnegatív egész. Mutassuk meg, hogy σ(p^{k}) < 2 · p^{k}.

14. Legyen m > 1 egész. Igazoljuk, hogy σ(6^{m}) > 2 · 6^{m}.

15. Mutassuk meg, hogy ha a és n pozitív egész és σ(a) > 2a, akkor σ(na) > 2na.

16. Mutassuk meg, hogy ha n > 2 egész, akkor tagja egy pitagoraszi számhármasnak. Mely n pozitív egészek lehetnek egy alapmegoldás tagjai?

17. Van-e olyan derékszögű háromszög, amelynek mindhárom oldala egész szám, és az átfogójához tartozó magasság az egyik befogó 2/3-szorosa?