Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Negyedik alkalom

1. Legyen az n > 0 egész szám kanonikus alakja p_{1}^{α_{1}} · . . . · p_{ℓ}^{α_{ℓ}}.

a) Van-e olyan egész szám, melynek köbe 120?

b) Van-e olyan racionális szám, melynek köbe 120?

c) Mikor lesz n egy egész illetve racionális szám köbe? És k-adik hatványa?

d) Tegyük fel, hogy n és m relatív prím pozitív egészek. Mutassuk meg, hogy ha nm teljes k-adik hatvány, akkor n is és m is az.

e) Keressünk két olyan relatív prím, nem feltétlenül pozitív, de nem nulla egész számot, melyek szorzata teljes négyzet, de a tényezők nem azok.

2. Legyen a = p_{1}^{α_{1}} · . . . · p_{ℓ}^{α_{ℓ}} és b = p_{1}^{β_{1}} · . . . · p_{ℓ}^{β_{ℓ}} e két pozitív egész közös kanonikus alakja.

a) Számitsuk ki 60 és 126 közös kanonikus alakját, és ebből a legnagyobb közös osztójukat és a legkisebb közös többszörösüket.

b) Mutassuk meg, hogy [a, b] kanonikus alakjában p_{i} kitevője max(α_{i}, β_{i}).

c) Igazoljuk, hogy (a, b)[a, b] = ab.

3. Egy téglalap alakú négyzethálós papír 7-tel osztható számú négyzetből áll. Mutassuk meg, hogy valamelyik oldala 7-tel osztható számú négyzetből áll!

4. Melyek azok a q pozitív egész számok, melyekre teljesül, hogy tetszőleges relatív prím a és b egészekre q | ab ⟹ q | a vagy q | b?

5. Tudjuk, hogy a ℤ-beli p prím negyedik hatványa osztja c^{2}−25-öt. Mely p-kre következik ebből, hogy p^{4} osztója c − 5-nek vagy c + 5-nek?

6. Legyen P a páros számok köre.

a) Adjuk meg 60 összes felbontását P -ben felbonthatatlanok szorzatára.

b) Mik a P -beli egységek, felbonthatatlanok és prímek?

7. Melyek azok a p természetes számok, melyekre p, p + 2 és p + 4 mindegyike prímszám?

8. Igazoljuk, hogy ha p is és p^{2} + 2 is prímszám, akkor p^{3} + 4 is az. Igaz-e, hogy ha p is és p^{2} + 5 is prímszám, akkor p^{3} + 4 is az?

9. Igaz-e a következő állítás: egy tizes számrendszerben felírt pozitív (nem prím) számnak mindig meg lehet egy alkalmasan választott jegyét változtatni úgy, hogy prímet kapjunk?

10^{∗}. Az 1-től 2n-ig terjedő számok közül ki akarunk választani néhányat úgy, hogy egyik se ossza egyik másikat se. Igazoljuk, hogy n szám kiválasztható így, de n + 1 már nem.

11^{∗}. Mely n egészekre lesz az 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{n} összeg egész szám?

12. Jelölje R az a + b\sqrt{2} alakú (a, b ∈ ℤ) számok körét.

a) Igazoljuk az (x^{2} − 2y^{2})(z^{2} − 2t^{2}) = (xz + 2yt)^{2} − 2(xt + yz)^{2} azonosságot.

b) Mutassuk meg, hogy a+b\sqrt{2} pontosan akkor egység R-ben, ha a^{2}−2b^{2} = ±1. Adjunk meg végtelen sok egységet.

c) Igazoljuk, hogy ha |a^{2} − 2b^{2}| egy ℤ-beli prím, akkor a + b\sqrt{2} felbonthatatlan R-ben.

d) Bontsuk fel R-ben a 13 + 2\sqrt{2} számot felbonthatatlanok szorzatára.

e) Igaz-e, hogy ha |a^{2} − 2b^{2}| = |c^{2} − 2d^{2}|, akkor a + b\sqrt{2} és c + d\sqrt{2} asszociáltak R-ben?