Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Második alkalom

1. Vezessük le az alábbi két azonosságot a mértani sor összegképletéből, és a második képletet az elsőből.

a^{n} − b^{n} = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + a^{n−3}b^{2} + ⋯ + ab^{n−2} + b^{n−1})
a^{2n+1} + b^{2n+1} = (a + b)(a^{2n} − a^{2n−1}b + − ⋯ + b^{2n}) .

2. Mutassuk meg, hogy 2^{111111} −1 összetett szám. Hogyan lehet általánosítani az állítást?

3. Mutassuk meg, hogy 2^{111111} + 3^{111111} osztható 35-tel.

4. Mutassuk meg, hogy 2^{3072} + 1 összetett szám. Hogyan lehet általánosítani az állítást?

5. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 2^{4n+1} + 3 osztható 5-tel.

6. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 2^{3n+6} + 3^{4n+2} osztható 73-mal.

7. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész, akkor (n + 1)^{n} − 1 osztható n^{2}-tel.

8. Bizonyítsuk be, hogy ha n nemnegatív egész, akkor 2^{2n} + 6n − 1 osztható 9-cel.

9. Mutassuk meg, hogy a) két egymás után következő egész szám szorzata mindig osztható 2-vel;

b) három egymás után következő egész szám szorzata mindig osztható 6-tal;

c) négy egymás után következő egész szám szorzata mindig osztható 24-gyel. Mit mondhatunk öt egymás után következő egész szám szorzatáról?

10. Mutassuk meg a modulo 8 szorzástábla felhasználásával, hogy páratlan szám négyzete 8-cal osztva mindig 1 maradékot ad. Adjunk erre az észrevételre közvetlen bizonyítást is.

11. Megoldható-e az egész számok körében az x^{2} + 5y = 1002 egyenlet?

12. A modulo 5 maradékok vizsgálatával mutassuk meg, hogy a^{5} − a minden egész a-ra osztható 5-tel. Milyen a egészekre igaz, hogy a^{4} − 1 osztható 5-tel?

13. Igazoljuk, hogy ha a tetszőleges egész, n pedig 1-nél nagyobb egész, akkor a^{2^{n}+1} − a osztható 10-zel.

Gyakorló feladatok

14. Bizonyítsuk be, hogy 11^{10} − 1 osztható 120-szal.

15. Bizonyítsuk be, hogy 2^{70} + 3^{70} osztható 13-mal.

16. Bizonyítsuk be, hogy 3^{m} + 1 semmilyen m természetes számra sem osztható 8-cal.

17. Bizonyítsuk be a 9-cel és 11-gyel való oszthatóság ismert két szabályát a 10-es számrendszerben. Általánosítsuk ezeket a szabályokat tetszőleges, g alapú számrendszerre.

18. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket az egész számok körében.

a) x^{2} − 4y = 10.

b) x^{2} − 3y = 20.

c) x^{2} + 3y^{2} = 2z^{2}.

19. Mely x egészekre teljesül, hogy 5 | x^{2} − 2x + 2? És az, hogy 7 | x^{2} − 2x + 2?