Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Tizenegyedik alkalom

1. (Ismétlés, vö. X/9.) Tegyük fel, hogy a és m egészek, és (a, m) = 1.

a) Határozzuk meg o_{m}(a^{3}) értékét, ha o_{m}(a) = 30.

b) Határozzuk meg o_{m}(a^{3}) értékét, ha o_{m}(a) = 31.

2. Legyen (a, m) = 1. Tegyük fel, hogy b olyan egész szám, amelyre ab ≡ 1 (m). Mutassuk meg, hogy akkor o_{m}(b) = o_{m}(a). Felírható-e b mint a alkalmas hatványa modulo m?

3. Legyen p prím, a egész, és (a, p) = 1. Határozzuk meg o_{p}(−a) lehetséges értékeit, ha a) o_{p}(a) = 20;

b) o_{p}(a) = 19;

b) o_{p}(a) = 18. Igaz-e tetszőleges modulus esetén, hogy −a rendje csak a rendje, vagy a rendjének a kétszerese, vagy a rendjének a fele lehet?

4. Legyenek a és b egész számok, és tegyük fel, hogy 59 | a^{2} + b^{2}. Mutassuk meg, hogy akkor a^{2} + b^{2} osztható 59^{2}-nel is. Igaz-e hasonló állítás 59 helyett 61-re?

5. Igazoljuk a Dirichlet-tétel felhasználása nélkül, hogy végtelen sok 6k − 1, illetve nem 8k + 1 alakú prím van.

6. Tegyük fel, hogy az a és b egészek nem relatív prímek. Legfeljebb hány prím lehet az ak + b sorozatban (k = 1, 2, …)?

7. Van-e olyan prímszám, amelynek a számjegyei között legalább egymillió darab 5-ös található?

8. Mutassuk meg, hogy a 0.23571113171923 … szám irracionális. (Úgy kapjuk ezt a számot, hogy a tizedespont után sorban leírjuk a prímek számjegyeit.)

9. Van-e végtelen sok 8k − 1 alakú szám, ami hat különböző prím szorzata?

10. Bizonyítsuk be, hogy a Fermat- és a Mersenne prímeken kívül még végtelen sok prímszám van.

11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy vannak „izolált” prímek, azaz minden N pozitív egészhez létezik olyan p prím, hogy p − N és p + N között nincs más prím, csak p. Logikailag hogyan viszonylik ez az állítás a hézagtételhez?

12. Van-e akármilyen nagy, a tizes számrendszerben eggyel kezdődő prím?

13. Hány nullára végződik \binom{2000}{1000} (a tizes számrendszerben felírva)?

14^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy (2n)! (2m)! ; m! n! (m + n)! egész szám.

15^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy létezik végtelen sok természetes szám, mely nem írható fel egy négyzetszám és egy pozitív prímszám összegeként.

16. Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egészet, melyre n, n + 1, n + 2, n + 3 mindegyike prímhatvány.

Typeset by AMS-TEX