Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, első félév Első alkalom

1. Egy tábla csokoládé 9 sorra és 4 oszlopra van osztva. A táblát kettétörjük két téglalapra (egy osztás mentén). Azután a kapott téglalapok valamelyikét ismét kettétörjük, és így tovább, amíg végül mind a 36 kis darab külön nem válik. Hogyan végezzük a tördelést, hogy minél kevesebbszer kelljen törni?

2. Babonás biciklisták ellopták az összes olyan dominót, amin nyolcas van. Ki lehet-e rakni a maradékot (a szokásos szabályok szerint) úgy, hogy a lánc a végén bezáruljon?

3. A közönséges 8 × 8-as sakktáblából kivesszük az egyik átló két végpontján lévő két sarokkockát. Lefedhető-e a kapott alakzat 2 × 1-es dominókkal?

4. Ha 3025-öt középen kettévágjuk, és a két darabot összeadjuk, akkor 55-öt kapunk, aminek a négyzete éppen az eredeti szám. Keressük meg az összes ilyen négyjegyű számot.

5. Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amelynek a négyzete ugyanerre a három számjegyre végződik.

6. A következőket tudjuk:

a) Minden nemdohányos agglegény bélyeggyűjtő.

b) Vagy minden ceglédi bélyeggyűjtő dohányzik, vagy nincs olyan nemdohányos bélyeggyűjtő, aki ne lakna Cegléden.

c) Kovács Péter budapesti lakosnak, mióta a felesége unszolására leszokott a dohány-

zásról, legfőbb szenvedélye a bélyeggyűjtés. Következik-e ebből, hogy minden ceglédi agglegény dohányzik?

7. Hárman vetélkednek, hogy ki a leggyorsabb észjárású. A bíró mindegyikük fejére egyegy vörös vagy fekete kalapot tesz úgy, hogy mindhárman látják a másik kettő kalapját, de a sajátjukat nem. Ezután felszólitja őket, hogy aki lát vörös kalapot, az emelje fel a kezét, és aki tudja, milyen kalapot visel, álljon félre. Mindhárom kalap vörös szinű. Rövid gondolkodás után az egyik versenyző félreáll és nyer. Honnan tudta, hogy vörös a kalapja?

8. Határozzuk meg a számjegyeket az alábbi osztásban:

     xxxxxxxx : xxx = xx8xx
      xxx
     –––-
       xxxx
        xxx
       –––-
         xxxx
         xxxx

9^{∗}. Lefedhető-e egy 6 × 6-os „sakktábla” 4 × 1-es „dominókkal”? És a 12 × 12-es tábla 8 × 1-esekkel? Hogyan általánosíthatjuk a feladatot?

10^{∗}. Egy matematikus négyzet alakú füves kertje fel van osztva 10 × 10 darab egybevágó, négyzet alakú parcellára. Miközben a matematikus a tételeit bizonyította otthon, a gyomok támadásba lendültek. Ha az egyik parcella két oldalszomszédja már gyomos, akkor a következő napon ezen a parcellán is gyom nő. A matematikus kinézett az ablakon, és látta, hogy csak kilenc parcellán van gyom. Elégedetten nyújtózkodott, és kijelentette: nem érdekes, jövő nyáron sem kell gyomra feküdnöm a kertben. Igaza volt-e?