Matematikus szak, második évfolyam, első félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Mindegyik feladat hat pontot ér, az osztályzat elégtelen, ha nincs lényegében megoldott feladat (azaz ami legalább öt pontot kapott), különben pedig az összpontszám hatodrészének egész része.

1. Kommutatív-e az A_{4} × S_{3} csoport 2-Sylow részcsoportja?

2. Van-e 380 rendű egyszerű csoport? (Ne használjuk a klasszifikációt.)

3. Nilpotens-e Aff(1, 5)?

4. Adjuk meg A_{5} összes 2-tranzitív részcsoportját.

5. Hány elemű az ⟨a, b | a^{5} = b^{7} = 1, a^{2}b = ba⟩ csoport?

6. Készítsük el azt a G = D_{5} ⋊_{φ} ℤ_{2}^{+} szemidirekt szorzatot, ahol φ(1) a t ∈ D_{5} elemmel való konjugálás.

a) Határozzuk meg (tf, 1) rendjét G-ben.

b) Izomorf-e G a D_{5} × ℤ_{2}^{+} csoporttal?

7^{∗}. Igaz-e, hogy egy (véges) G Frobenius-csoport Frattini-részcsoportja része G magjának? (A reguláris csoportokat, tehát ahol a komplementum egyelemű, nem tekintjük Frobenius-csoportnak, de ott ez nyilván teljesül.)