Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Kilencedik (utolsó) feladatsor — könnyű Galois-elméleti gyakorló feladatok

1. Igaz-e, hogy ℚ(\sqrt{6}) ⊆ ℚ(\sqrt{3}, \sqrt{2} + 1)?

2. Igazoljuk, hogy ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) = ℚ(\sqrt[6]{2}).

3. Igazoljuk, hogy ha α ≠ 0, akkor K(α, β) = K(α, αβ).

4. Írjuk fel az 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} szám reciprokát a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban (ahol a, b, c ∈ ℚ).

5. Legyen θ az x^{3} +3x+1 polinom (egyetlen) valós gyöke. Írjuk fel a θ^{5} +2θ^{3} és a θ/(θ−3) számokat a + bθ + cθ^{2} alakban, ahol a, b, c ∈ ℚ. Mi a θ minimálpolinomja ℚ fölött?

6. Határozzuk meg az alábbi számok minimálpolinomját a racionális test felett: π, 1 + i, \sqrt{2} + i, \sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, 1 + \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2 + \sqrt{2}}, \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}, cos 20^{∘}, egy primitív n-edik egységgyök.

7. Legyen L ≅ ℤ_{2}/(x^{2}+x+1) a négyelemű test. Írjuk fel az összes elem minimálpolinomját a prímteste fölött.

8. Felírható-e a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban a \sqrt[6]{2} illetve a \sqrt{2}, ahol a, b, c racionális számok?

9. Határozzuk meg |ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) : ℚ| értékét.

10. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L egy testbővítés, α, β ∈ L, és gr_{K}(α) és gr_{K}(β) relatív prímek, akkor |K(α, β) : K| = gr_{K}(α)gr_{K}(β).

11. Határozzuk meg \sqrt[4]{2} fokát a ℚ(\sqrt{8}) és a ℚ(\sqrt[3]{7}) felett.

12. Legyen θ nem valós gyöke az x^{3}−2 polinomnak. Határozzuk meg θ fokát ℚ(\sqrt[3]{2}) felett, és a ℚ(θ) ∩ ℝ testet. Igaz-e, hogy ha K ≤ L ≤ M, és α ∈ M, akkor gr_{L}(α) | gr_{K}(α)?

13. Számítsuk ki az alábbi fokszámokat: a) |ℚ(cos 23^{∘} + i sin 23^{∘}) : ℚ|; b) |ℚ(\sqrt{2}\sqrt[3]{3}) : ℚ|;

c) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ(\sqrt{2}) felett; d) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ felett.

14. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b valós, akkor a + bi pontosan akkor algebrai (ℚ felett), ha a is és b is az.

15. Az alábbi számok közül melyek algebraiak, és melyek transzcendensek: π + 3, 5π + 6, π + \sqrt{2}, π^{2} + 2π + 2, \sqrt{π}.

16. Egy algebrai szám és egy transzcendens szám összege mikor algebrai? És a szorzatuk? Egy algebrai szám négyzete lehet-e transzcendens? És a négyzetgyöke?

17. Igazoljuk, hogy ℚ egyetlen véges bővítése sem lehet algebrailag zárt. Mutassuk meg, hogy a ℤ_{p} test nem algebrailag zárt. Melyek az algebrailag zárt véges testek?

18. Igazoljuk, hogy algebrai bővítések egymásutánja is algebrai.

Fordíts!

19. Lineárisan független-e \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} a ℚ felett; \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} az ℝ felett; \{1, π, 1/π\} a ℚ felett?

20. Igaz-e, hogy \sqrt{2} ∈ ℚ(\sqrt{3})?

21. Legyen K részteste ℂ-nek, és b, c racionális számok. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ K(\sqrt{c}). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \sqrt{b} ∈ K, vagy \sqrt{b/c} ∈ K.

22. Legyen b négyzetmentes racionális szám (azaz két négyzetmentes egész hányadosa), és p_{1}, …, p_{n} prímek. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}). Bizonyítsuk be, hogy b kanonikus alakjában csak p_{1}, …, p_{n} szerepelhet. Ennek alapján mutassuk meg, hogy a prímszámok négyzetgyökei lineárisan függetlenek ℚ felett.

23. Igazoljuk, hogy ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(\sqrt{2} + \sqrt{3}).

24. Az alábbiak végrehajtásával határozzuk meg a ℚ(\sqrt[4]{2}) test összes résztestét. a) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(\sqrt[4]{2}) bővítés?

b) Normális-e a ℚ ≤ ℚ(i, \sqrt[4]{2}) bővítés?

c) Legyen G a b)-beli bővítés Galois-csoportja, és φ ∈ G. Mi lehet φ(i) és φ(\sqrt[4]{2})?

d) Mutassuk meg, hogy ha φ, ψ ∈ G, φ(i) = ψ(i), és φ(\sqrt[4]{2}) = ψ(\sqrt[4]{2}), akkor φ = ψ.

e) Az előző két pont alapján igazoljuk, hogy G elemszáma legfeljebb 8.

f) A főtétel alapján mennyi G elemszáma?

g) Legyen α_{1} = \sqrt[4]{2}, α_{2} = iα_{1}, α_{3} = −α_{1}, α_{4} = −iα_{1}. Igazoljuk, hogy ha φ és ψ megegyezik az α_{1} és α_{2} helyeken, akkor φ = ψ.

h) Mi az összefüggés φ(α_{1}) és φ(α_{3}) között?

i) Mutassuk meg, hogy ha az α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4} számokat ebben a sorrendben egy négyzet csúcsaira írjuk, akkor G minden eleme a négyzetnek szimmetriája lesz, és így G ≅ D_{4}.

j) Legyen φ ∈ G az (13) permutációnak megfelelő eleme G-nek. Írjuk fel ℚ(i, \sqrt[4]{2}) egy bázisát ℚ felett, egy általános elem képét φ-nél, és φ fixpontjainak halmazát.

k) Legyen H = {id, (24)}. Mely testek felelnek meg a H-t tartalmazó részcsoportoknak?

l) Igazoljuk, hogy ℚ(\sqrt[4]{2}) minden részteste tartalmazza ℚ-t.

25. Határozzuk meg az alábbi polinomok felbontási testének fokát ℚ felett: x^{2} +1, x^{4} −1, x^{4} + 1, x^{6} − 1, x^{6} − 2, (x^{2} − 2)(x^{3} − 2), (x^{2} − 2)(x^{2} − 3). Határozzuk meg minél több esetben a Galois-csoportot és a közbülső testeket is.

26. Mutassuk meg, hogy minden másodfokú bővítés normális.

27. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L ≤ M, és M/K normális, akkor M/L is az.

28. Legyenek p_{1}, …, p_{k} páronként különböző pozitív prímszámok. Határozzuk meg a ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}) Galois-csoportját ℚ felett.

29^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L ≤ ℂ, és K/L negyedfokú, akkor ennek a bővítésnek kettő, három, vagy öt közbülső teste lehet.

30^{∗}. Adjuk meg ℚ-nak egy harmadfokú, normális bővítését.

∞^{∗∗∗∗∗∗∗∗}. Igaz-e, hogy minden véges G csoporthoz van ℚ-nak olyan normális bővítése, melynek Galois-csoportja G-vel izomorf? (Ez híres megoldatlan probléma, az állítást Safarevics belátta akkor, ha G feloldható).