Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Nyolcadik alkalom

Egy főideálgyűrű feletti M mátrix k-adik determinánsosztójának nevezzük az összes k × kas részmátrix determinánsainak legnagyobb közös osztóját, ennek jele Δ_{k}(M); Δ_{0}(M) = 1. A k-adik elemi osztó Δ_{k}(M)/Δ_{k−1}(M), illetve nulla, ha Δ_{k−1}(M) = 0.

1. Legyen M = ℝ^{3} a pv = p(A)v definícióval ℝ[x]-modulus, ahol

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) és u = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

a) Igazoljuk, hogy u generálja M-et (azaz M ciklikus).

b) Adjunk meg egy „szép” bijekciót M részmodulusai és x(x − 1)^{2} osztói között.

2. Az alább megadott M modulusok megadott X generátorrendszeréhez készítsük el az alaptétel bizonyításában használt mátrixot, hozzuk ezt normálalakra, és ennek alapján bontsuk fel M-et ciklikus modulusok direkt összegére.

a) M = ℤ_{6}^{+} a ℤ felett, X = {2, 3}.

b) M = ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2}^{+} × ℤ_{3}^{+} a ℤ felett, X = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

c) M = ℂ^{n} mint a ℂ[x] feletti, az alább megadott mátrixokhoz tartozó szokásos modulus, X pedig ℂ^{n} szokásos bázisa.

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} )

3. Hogyan olvashatók le a determinánsosztók és az elemi osztók a mátrix normálalakjából? Mutassuk meg, hogy elemi átalakítások során a determinánsosztók (asszociáltság erejéig) nem változnak, és ezért a normálalak egyértelmű.

4. Az alábbiakban megadjuk egy-egy komplex elemű (ismeretlen) karakterisztikus mátrix determinánsosztóit (összesen 6 mátrixét). Döntsük el, van-e ilyen mátrix, és ha igen, akkor adjuk meg a minimálpolinomját és a Jordan-féle normálalakját. {1, 1, x^{2}}, {1, x, x^{2}, x^{3}}, {1, 1, x, x^{3}}, {1, 1, x^{2}, x^{3}}, {1, 1, 1, x^{3}}, {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, x, x^{2}(x − 1)^{2}, x^{5}(x − 1)^{4}}.

5. Adjuk meg az alábbi mátrixokhoz tartozó karakterisztikus mátrix normálalakját, és ennek alapján számítsuk ki minimálpolinomjukat és Jordan-alakjukat.

( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}−3 & −4 & 1 \\ 6 & 9 & −2 \\ 15 & 24 & −5 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

6. Igazoljuk, hogy végtelen test felett egy lineáris transzformációnak akkor és csak akkor van véges sok invariáns altere, ha minimálpolinomjának foka megegyezik a tér dimenziójával. Hány invariáns altér van ilyenkor?

7. Legyen R főideálgyűrű, M egy unitér R-modulus, és c_{1}, …, c_{k}, d_{1}, …, d_{ℓ} bázis M-ben. Tegyük fel, hogy p ∈ R prím, és c_{i} rendje p^{α_{i}}, ahol α_{i} > 0, viszont a d_{j} elemek rendje nem osztható p-vel. Bizonyítsuk be, hogy M[p]-ben, mint az R/(p) test fölötti vektortérben, bázist alkotnak a p^{α_{i}−1}c_{i} elemek (1 ≤ i ≤ k).