Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hetedik alkalom

Ha M egy R-modulus, és X ⊆ M, akkor ann(X) = {r ∈ R | rX ⊆ {0}} az X annulátora. Az M modulus hű, ha ann(M) = {0}. Az {m} annullátorát (és ha R főideálgyűrű, akkor ennek az ideálnak a generátorelemét is) az m ∈ M elem rendjének nevezzük, jele o(m).

1. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák? Határozzuk meg a részmodulusokat, és a rendeket is, valamint, hogy mikor hű a kapott modulus.

a) Egy A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

b) Egy m exponensű A Abel-csoport ℤ_{m} felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

c) Ha T test, akkor T^{n} a T^{n×n} felett a mátrix-vektor szorzásra.

d) Ha V vektortér a T test felett, és A ∈ Hom(V), akkor V a T [x] felett a p ∘ v = p(A)v szorzásra. Hogyan kapcsolódik a rend fogalma a tavaly tanult m_{A,v} polinomokhoz?

e) Ha S részgyűrűje R-nek, akkor R az S felett, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás).

f) Ha S balideálja R-nek, akkor S az R felett, ahol az összeadás az S-beli összeadás, és r ∘ s = rs (R-beli szorzás).

2. Mutassuk meg, hogy ann(X) balideál, és ha X részmodulus, akkor kétoldali ideál.

3. Igazoljuk, hogy ha M egy R-modulus, akkor M hű modulussá tehető R/ann(M) fölött.

4. Legyen A Abel-csoport, és R az A endomorfizmusainak gyűrűje a pontonkénti összeadásra és a kompozícióra. Mutassuk meg, hogy a φ∘a = φ(a) az A-t baloldali R-modulussá teszi. Igazoljuk azt is, hogy az A akkor és csak akkor tehető hű modulussá egy S gyűrű fölött, ha S izomorf az R egy részgyűrűjével.

5. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

6. Általánosítsuk a hatvány rendjének képletét főidálgyűrű feletti modulusokra.

7. Igazoljuk, hogy ha R főideálgyűrű, és M egy R-modulus, akkor azok az M-beli elemek, melyek rendje nem nulla, egy részmodulust alkotnak (ez az M torzió-részmodulusa). Igaz-e, hogy az eszerint vett faktormodulus torziómentes (azaz minden elem rendje nulla)?

8. Legyen R egységelemes gyűrű és M baloldali unitér R-modulus, mely egy elemmel generálható (azaz ciklikus). Mutassuk meg, hogy M izomorf R-nek mint önmaga feletti modulusnak egy J részmodulusa, azaz balideálja szerinti faktormodulusával, és adjunk meg egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést M faktormodulusai, és R-nek a J-t tartalmazó balideáljai között.

9. Igaz-e főideálgyűrű fölött, hogy ciklikus modulus része is ciklikus? Két ciklikus modulus direkt szorzata mikor lesz ciklikus?

10. Az 1/d feladatban szereplő modulus milyen A esetén ciklikus, ha a V kétdimenziós?

11. Bázist alkot-e a ℤ_{2} × ℤ_{4} csoportban {(1, 2), (1, 1)}?

12. Igaz-e, hogy egy erős értelemben vett bázis mindig szabad generátorrendszer? (Az „erős értelemben” azt jelenti, hogy ∑ r_{i}b_{i} = 0 ⟹ r_{i} = 0, és nem csak r_{i}b_{i} = 0).