Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hatodik alkalom

1. Adjunk képletet kommutatív gyűrűben a generált ideálra.

2. Igaz-e, hogy a ℤ[x_{1}, …, x_{n}] az x_{1}, …, x_{n} által generált szabad kommutatív gyűrű?

3. Igazoljuk, hogy ha R gyűrű, akkor az (r, n)(s, m) = (rs + rm + sn, nm) szorzásra nézve az R^{+} × ℤ^{+} csoport egységelemes gyűrű, mely tartalmaz R-rel izomorf részgyűrűt.

4. Legyen I ideál az R gyűrűben. Igazoljuk, hogy az (a + I)(b + I) = ab + I definíció reprezentánsfüggetlen, és az R/I faktorcsoportot gyűrűvé teszi (ennek neve faktorgyűrű). Igazoljuk, hogy R egy részhalmaza akkor és csak akkor ideál, ha alkalmas gyűrűhomomorfizmus magja. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a homomorfizmus-tétel, illetve a két izomorfizmus-tétel gyűrűelméleti változatát. Definiáljuk gyűrűk direkt szorzatát a csoportokéval analóg módon, és mutassuk meg, hogy a direkt szorzat csoportokra adott belső jellemzése gyűrűkre is érvényben marad, ha normálosztó helyett ideált írunk.

5. Izomorfak-e az alábbi gyűrűk? Itt 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűje.

a) ℤ/(n) és ℤ_{n}.

b) (2ℤ)/(8) és ℤ_{4}.

c) ℝ[x]/(x^{2} + 1) és ℂ.

d) ℝ[x]/(x^{2} + 2) és ℂ.

e) ℝ[x]/(x^{2} − 1) és ℂ illetve ℝ × ℝ.

f) 𝔾/(5) és ℤ_{5} × ℤ_{5}.

g) 𝔾/(3) és a kilenc elemű test.

6. Legyen R azoknak a (racionális) törteknek a gyűrűje, melyek nevezője páratlan. Határozzuk meg az egységeket, a felbonthatatlanokat és a prímeket. Hány prím van asszociáltság erejéig? Igaz-e az alaptétel? Mik az ideálok? Konstruáljunk olyan alaptételes gyűrűt, melyben asszociáltság erejéig hat darab prím van. (Lásd a következő feladatot is.)

7. Legyen R kommutatív gyűrű, és S részfélcsoportja az R nem nullosztó elemeiből álló félcsoportnak. A hányadostest konstrukciójának mintájára igazoljuk, hogy az R beágyazható olyan egységelemes T gyűrűbe, melyben az S elemei már invertálhatók, és amelyben minden elem egy R-beli és egy S-beli elem hányadosa. Ezt az R feletti izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott T gyűrűt az R gyűrű S szerinti lokalizáltjának nevezzük.

8. Bizonyítsuk be, hogy ha R alaptételes gyűrű, ami nem test, akkor végtelen sok prím van benne (most az asszociált prímeket is különbözőnek tekintjük).

9. Legyen K test, és jelölje K^{∘}[x] az olyan K feletti „polinomoknak” a gyűrűjét, amelyben az x kitevőjeként nemcsak nemnegatív egészek, hanem tetszőleges nemnegatív racionális számok szerepelhetnek. Igazoljuk, hogy nullosztómentes gyűrűt kaptunk, amelyben minden irreducibilis elem prím. Igaz-e a számelmélet alaptételének létezési illetve egyértelműségi állítása? Létezik-e felbonthatatlan elem ℂ^{∘}[x]-ben? És ℚ^{∘}[x]-ben?

10. Legyen R egységelemes integritási tartomány. Igazoljuk az alábbi állításokat. a) R[x] akkor és csak akkor főideálgyűrű, ha R test.

b) Ha R alaptételes, és minden nem nulla ideálja véges indexű, akkor főideálgyűrű.