Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Ötödik alkalom

1. Az alábbi permutációcsoportokról döntsük el, hogy primitívek-e (illetve mikor azok): A_{3}, A_{4}, az A_{4} csoport négyelemű normálosztója, a D_{n} csoport a szabályos n-szög csúcsain, a kocka szimmetriacsoportja a kocka csúcsain, élein és lapjain, tetszőleges G véges csoport automorfizmus-csoportja a G − {1} halmazon.

2. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy legalább háromelemű halmazon hat, és csak triviális kongruenciája van, akkor tranzitív.

3. Határozzuk meg S_{n} primitív nilpotens részcsoportjait.

4. Mutassuk meg, hogy ha N minimális normálosztó a G ≤ S_{X} csoportban, és N Abel-féle és tranzitív, akkor G primitív.

5^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha G primitív permutációcsoport egy legalább háromelemű, páros elemszámú halmazon, akkor |G| osztható néggyel.

6. Igazoljuk, hogy minden nemtriviális, véges, tranzitív permutációcsoportban van fixpontmentes elem.

7. Határozzuk meg az S_{n} csoport összes normálosztóját.

8. Bizonyítsuk be, hogy G/Z(G) izomorf G belső automorfizmusainak csoportjával.

9. Igazoljuk, hogy ha F szabad csoport, akkor bárhogy is veszünk egy α : G → H szürjektív csoport-homomorfizmust, az F csoport minden H-ba menő φ homomorfizmusa keresztülvezethető az α leképezésen, azaz van olyan ψ : F → G homomorfizmus, hogy φ = αψ.

10^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy egy szabad csoport kommutátor-részcsoportja azokból a szavakból áll, amelyekre igaz a következő: bármelyik generátort is vesszük, azoknak a kitevőknek az összege, amin ez a generátor ebben a szóban szerepel, nullával egyenlő. (Például x^{2}y^{−3}x^{−1}zx^{−1}y^{2}z^{−1}y ilyen szó, mert 2 − 1 − 1 = 0, −3 + 2 + 1 = 0, 1 − 1 = 0.)

11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy a két elemmel generált szabad csoportnak van olyan részcsoportja, amely izomorf a megszámlálhatóan generált szabad csoporttal.

12. Az alábbi, definiáló relációkkal megadott csoportoknak határozzuk meg a rendjeit, és döntsük el, izomorfak-e valamelyik „ismert” csoporttal.

a) ⟨t, f | t^{2} = 1, f^{6} = 1, tft = f^{−1}⟩.

b) ⟨c, d | c^{4} = 1, d^{2} = c^{2}, dcd^{−1} = c^{−1}⟩.

c) ⟨c, d | c^{7} = d^{3} = 1, dcd^{−1} = c^{2}⟩.

d) ⟨c, d | c^{6} = 1, d^{2} = c^{3}, dcd^{−1} = c^{−1}⟩.

e) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{3} = 1⟩.

f) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{4} = 1⟩.

g) ⟨a, b | a^{3} = b^{4} = 1, ba = ab^{3}⟩.

h) ⟨a, b, c | a^{4} = b^{2} = c^{2} = 1, ac = ca, bc = cb, ab = ba^{3}⟩.

13^{∗∗∗∗∗}. Konstruáljunk végesen generált végtelen egyszerű csoportot. (Ötlet: tekintsük az ⟨x, y, z, t | xyx^{−1} = y^{2}, yzy^{−1} = z^{2}, ztz^{−1} = t^{2}, txt^{−1} = x^{2}⟩ csoportot. Mutassuk meg, hogy minden véges faktora egyelemű, de ő maga nem az).