Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Negyedik alkalom

1. Mutassuk meg, hogy ha a G csoport k-tranzitívan hat egy n elemű halmazon, akkor n(n − 1) … (n − k + 1) osztója G rendjének, és itt oszthatóság helyett akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha a hatás szigorúan k-tranzitív.

2. Milyen n és T esetén hat Aff(n, T) szigorúan 3-, illetve 2-tranzitívan a T^{n} halmazon?

3. Igazoljuk tetszőleges T test esetén, hogy L(T) ≅ PGL(2, T), és hogy L(T) szigorúan 3-tranzitívan hat a T ∪ {∞} projektív egyenesen.

4. Igazoljuk, hogy ha H és K részcsoportok egy G csoportban, akkor a G hatása a H szerinti bal mellékosztályokon akkor és csak akkor ekvivalens a K szerinti bal mellékosztályokon való hatással, ha H és K konjugáltak G-ben.

5. Igazoljuk, hogy ha G ≤ S_{X} Frobenius-csoport, és H az a ∈ X stabilizátora, akkor g ∈ G−H esetén H ∩gHg^{−1} = {1}. Megfordítva, tegyük fel, hogy a G csoportnak H ilyen tulajdonságú részcsoportja. Mutassuk meg, hogy akkor G hatása H bal mellékosztályain Frobenius-csoportot ad, melynek N magja az egységelemen kívül azokból az elemekből áll, melyek H egyetlen konjugáltjában sincsenek benne, a stabilizátorok pedig pontosan H konjugáltjai lesznek (ezeket a Frobenius-csoport komplementumainak nevezzük).

6. Legyen G ≤ S_{X} Frobenius-csoport, melynek magja N ◁ G, és az a ∈ X pont stabilizátora H. Mutassuk meg, hogy G az N és a H szemidirekt szorzata. Igazoljuk azt is, hogy egyetlen olyan hatása létezik G-nek az N halmazon, ahol H elemei konjugálással, N elemei pedig balszorzással hatnak, és ez a hatás ekvivalens a G csoport X-en való hatásával.

7. Igazoljuk az alábbi csoportokról, hogy Frobenius-csoportok: S_{3}, D_{2n+1}, A_{4}, Aff(1, T), minden pq rendű nemkommutatív csoport (p, q prímek). Mi a mag és a komplementumok?

8. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az N ⋊_{φ} H szemidirekt szorzat olyan Frobenius-csoport legyen, melynek magja N, egyik komplementuma pedig H?

9. Igazoljuk, hogy Aff(V) ≅ V ⋊ GL(V).

10^{∗}. Igazoljuk, hogy ha G ≤ S_{n}, akkor Φ(G) nem lehet tranzitív.

11. Mutassuk meg, hogy tetszőleges T test felett a T(n, T) csoport feloldható.

12. Jelölje I^{ij} azt az n×n-es mátrixot, melyben az i-edik sor j-edik eleme 1, a többi nulla. Mutassuk meg, hogy i < j < k esetén I + I^{ij} és I + I^{jk} kommutátora I + I^{ik}. Vezessük le ebből, hogy az U(n, T) csoport minden centrális lánca legalább n hosszúságú.

13. Bizonyítsuk be, hogy az SL(n, T) részcsoport centralizátora GL(n, T)-ben éppen a skalármátrixokból (azaz az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból) áll.

14. Igazoljuk, hogy PSL(2, 2) ≅ SL(2, 2) = GL(2, 2) ≅ S_{3}, és hogy PSL(2, 3) ≅ A_{4}.

15. Igazoljuk, hogy egy 60 rendű egyszerű csoport van (így PSL(2, 4) ≅ PSL(2, 5) ≅ A_{5}).

16. Mutassuk meg, hogy a GL(n, p) csoport p-Sylowja izomorf U(n, p)-vel.

17. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy n elemű csoport, akkor beágyazható GL(n, p)-be tetszőleges p esetén, és ha G egy p-csoport, akkor beágyazható U(n, p)-be is.