Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Harmadik alkalom

Egy G csoport alsó centrális lánca a G = G^{1} ≥ G^{2} ≥ … lánc, ahol G^{i+1} = [G^{i}, G], felső centrális lánca pedig {e} = Z_{0}(G) ≤ Z_{1}(G) ≤ …, ahol Z_{i+1}(G)/Z_{i}(G) = Z(G/Z_{i}(G)).

1. Feloldhatók illetve nilpotensek-e az alábbi csoportok? Határozzuk meg a kommutátorrészcsoportjukat és a Frattini-részcsoportjukat: ℤ_{n}^{+}, ℤ_{2}^{2}, S_{3}, D_{4}, D_{6}, A_{4}, S_{4}, A_{5}.

2. Igazoljuk, hogy ha |P | = p^{3} (ahol p prím), akkor Z(P) = P′ = Φ(P), és ez p rendű.

3. Mutassuk meg, hogy ha R egységelemes gyűrű, és I ideál R-ben, melyre I^{k} = 0, akkor az 1 + x (x ∈ I) alakú elemek a szorzásra nézve nilpotens csoportot alkotnak.

4. Bizonyítsuk be, hogy ha N és K karakterisztikus részcsoportok, akkor [N, K] is az.

5. Bizonyítsuk be, hogy egy feloldható csoportban minden minimális normálosztó elemi Abel-féle p-csoport, azaz izomorf ℤ_{p}^{n}-nel valamilyen p prímre és n egészre.

6. Igazoljuk, hogy Aut(ℤ_{p}^{n}) ≅ GL(n, p). Mi ennek a csoportnak a rendje?

7. Igazoljuk, hogy feloldható csoport maximális részcsoportjának indexe prímhatvány.

8. Igazoljuk az [x, yz] = [x, y]y[x, z]y^{−1} azonosságot, és ebből azt, hogy ha K, L, N normálosztók egy csoportban, akkor [K, LN] = [K, L][K, N].

9. Az x ∈ G elemet „nem-generátor”-nak nevezzük, ha minden generátorrendszerből elhagyható, azaz ha tetszőleges X ⊆ G esetén ⟨x, X⟩ = G ⟹ ⟨X⟩ = G. Bizonyítsuk be, hogy Φ(G) pontosan a nem-generátorok halmaza. 10^{∗}. Legyen P véges p-csoport (p prím), és |P/Φ(P)| = p^{r}. Igazoljuk, hogy P/Φ(P) elemi Abel-féle p-csoport, és P minden minimális generátorrendszere r elemű. 11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha G véges, akkor Φ(G) nilpotens.

12. Mutassuk meg, hogy a G csoport alsó és felső centális láncának elemei karakterisztikus részcsoportok; hogy G tetszőleges G = N_{0} > N_{1} > ⋯ > N_{k} = {e} centrális láncára igaz, hogy G^{i+1} ≤ N_{i} ≤ Z_{k−i}(G) (ahol 0 ≤ i ≤ k), és ezért G akkor és csak akkor nilpotens, ha az alsó centrális lánc leér az {e}-ig, akkor és csak akkor, ha a felső centrális lánc felér G-ig, és ebben az esetben az alsó és a felső centrális lánc hossza megegyezik.

13. Igazoljuk, hogy nilpotens csoportban minden normálosztó metszi a centrumot.

14. Legyen A (tartalmazásra) maximális egy G véges nilpotens csoport Abel-féle normálosztói között. Bizonyítsuk be, hogy A = C_{G}(A).

15. Igaz-e, hogy (A × B)′ = A′ × B′?

16. Bizonyítsuk be, hogy a feloldhatóság bővítésre öröklődik, és hogy két feloldható normálosztó szorzata is feloldható.

17. Bizonyítsuk be, hogy a nilpotencia öröklődik részcsoportra, homomorf képre és véges direkt szorzatra, de bővítésre nem. 18^{∗∗}. Igazoljuk, hogy ha G véges, N ◁ G, és G/Φ(N) nilpotens, akkor G is az. 19^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy két nilpotens normálosztó szorzata is nilpotens.