Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Második alkalom

1. Mutassuk meg, hogy egy tetszőleges G csoport belső automorfizmusai normálosztót alkotnak G automorfizmus-csoportjában.

2. A G csoport egy N részcsoportját karakterisztikus részcsoportnak nevezzük, ha N invariáns G összes automorfizmusára, azaz g ∈ N és α ∈ Aut(G) esetén α(g) ∈ N. Bizonyítsuk be a következő állításokat.

a) G minden karakterisztikus részcsoportja normálosztó G-ben.

b) Egy ciklikus csoport minden részcsoportja karakterisztikus.

c) Ha A (additívan írt) Abel-csoport, és n pozitív egész, akkor az nA = {na | a ∈ A} és az A[n] = {a ∈ A | na = 0} részcsoportok karakterisztikusak.

d) A centrum mindig karakterisztikus részcsoport.

e) Ha G-ben egy Sylow részcsoport normálosztó, akkor karakterisztikus is.

f) Ha N ◁ G, akkor N normálosztói nem feltétlenül normálosztók G-ben (keressünk D_{4}-ben ellenpéldát).

g) Ha N ◁ G, akkor N minden karakterisztikus részcsoportja normálosztó G-ben.

h) Karakterisztikus részcsoport karakterisztikus részcsoportja az egész csoportnak karakterisztikus részcsoportja.

3^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha a G véges csoport karakterisztikusan egyszerű, azaz csak a két triviális karakterisztikus részcsoportja van, akkor G egymással izomorf egyszerű csoportok direkt szorzata.

4^{∗}. Mely véges csoportoknak van másodrendű fixpontmentes automorfizmusa? (Egy automorfizmus fixpontmentes, ha csak az egységelemet viszi önmagába).

5. Izomorfak-e egy „ismert” csoporttal az alábbi szemidirekt szorzatok? A következő jelölést használjuk: G = N⋊H, ahol H részcsoport, N normálosztó G-ben, és φ : H → Aut(N) az a leképezés, melyre φ(h)(n) = hnh^{−1}.

a) H = ℤ_{2}^{+}, N = ℤ_{n}^{+}, φ(1) minden elemet invertál.

b) H = ℤ_{2}^{+}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(1) az (ab) transzpozíció.

c) H = ℤ_{3}^{+}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(1) az (abc) ciklus.

d) H = D_{3}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(t) = (ab), φ(f) = (abc).

e) H = D_{3}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(t) = (ab), φ(f) = id.

f) H = ℤ_{4}^{+}, N = ℤ_{3}^{+}, φ(1) = (12).

6. Igazoljuk, hogy minden G = N ⋊H szemidirekt szorzat tényleg csoport, amelyben az Nnek megfelelő N_{0} részhalmaz normálosztó, a H-nak megfelelő H_{0} részhalmaz részcsoport, H_{0} úgy hat konjugálással N_{0}-on, ahogy a φ leképezés előírja, G = N_{0}H_{0}, és G/N_{0} ≅ H_{0}.

7^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha p ≠ q prímek, akkor bármely két nemkommutatív pq rendű csoport izomorf.

8. Legyen P egy p-Sylow G-ben, és N ◁ G. Igazoljuk, hogy P ∩ N (egy) p-Sylowja N-nek, és NP/N (egy) p-Sylowja G/N-nek.

9. Bizonyítsuk be, hogy a feloldható csoportok osztálya zárt a részcsoportképzésre, a faktorcsoport képzésére, és a véges sok tényezős direkt szorzat képzésére.