Matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Első alkalom

1. Hasson G az X halmazon, és legyen φ_{g}(x) = g ∗ x. Bizonyítsuk be, hogy g ↦ φ_{g} homomorfizmusa G-nek S_{X}-be. Ennek a magját a hatás magjának nevezzük.

2. Legyen H ≤ G, és definiáljuk G hatását a H szerinti bal mellékosztályokon a g∗(aH) = gaH képlettel. Igazoljuk, hogy ennek a hatásnak a magja a H konjugáltjainak a metszete.

3. Tegyük fel, hogy a G egyszerű csoportban van n-indexű részcsoport. Bizonyítsuk be, hogy G izomorf az S_{n} egy részcsoportjával.

4. Igazoljuk, hogy N_{G}(H) a legnagyobb olyan részcsoport, amiben H normálosztó.

5. Melyik ismert csoporttal izomorf az S_{4} csoport 2-Sylow részcsoportja?

6. Határozzuk meg az alábbi csoportok Sylow-részcsoportjainak a számát: S_{3}, D_{n}, S_{4}, A_{5}.

7. Igazoljuk, hogy nincs 200, 204, 260, 56 rendű egyszerű csoport.

8. Számítsuk ki, hogy egy véges csoport Cayley-reprezentációjában mely elemeknek lesz páratlan permutáció a képe. Mutassuk meg, hogy ha a G csoport 2-Sylow részcsoportja ciklikus (speciálisan ha G rendje 4k + 2 alakú), akkor G nem lehet egyszerű. 9^{∗}. Igazoljuk, hogy nincs 120, 180^{∗∗}, 312, 616, 1960 rendű egyszerű csoport.

10. [Frattini-elv] Legyen H ◁G és P egy p-Sylowja H-nak. Igazoljuk, hogy G = HN_{G}(P), és hogy N_{G}(P) tartalmazza G egy p-Sylow részcsoportját.

11. Tegyük fel, hogy a K ≤ G részcsoport tartalmazza G egy p-Sylowjának normalizátorát. Mutassuk meg, hogy N_{G}(K) = K, és hogy |G : K| ≡ 1 (p). 12^{∗}. Igazoljuk, hogy ha p, q, r páronként különböző prímek, akkor nincs pqr rendű egyszerű csoport. 13^{∗}. Igazoljuk, hogy ha p prím, akkor nincs 4p^{α} rendű egyszerű csoport. 14^{∗}. Igazoljuk, hogy ha p ≠ q prímek, akkor nincs p^{2}q rendű egyszerű csoport. 15^{∗∗}. Igazoljuk, hogy ha p ≠ q prímek, és α > 0, akkor nincs p^{α}q rendű egyszerű csoport.

16. Legyen X ⊆ G. Mutassuk meg, hogy C_{G}(X) ◁ N_{G}(X), és ha X részcsoport, akkor C_{G}(X)/N_{G}(X) beágyazható X automorfizmuscsoportjába.

17. Határozzuk meg a ℤ_{n}^{+}, ℤ_{2} × ℤ_{2}, Q, S_{3} csoportok automorfizmuscsoportját.

18. Legyenek G és H véges csoportok. Mutassuk meg, hogy a (g, h) ∈ G × H rendje a |g| és a |h| legkisebb közös többszöröse. Vezessük le ebből, hogy G × H akkor és csak akkor ciklikus, ha G is, H is az, és (|G|, |H|) = 1. Mi a helyzet, ha G és H nem feltétlenül véges?

19. Döntsük el, hogy az alábbi csoportok közül melyek bonthatók fel két valódi részcsoportjuk direkt szorzatára, és igenlő válasz esetén adjunk is meg egy-egy ilyen felbontást: ℤ_{6}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ^{+}, ℚ^{+}, ℂ^{+}, ℤ_{15}^{×}, ℤ_{16}^{×}, D_{3}, D_{4}, D_{6}, Q, A_{4}, S_{5}.

20. A véges Abel-csoportok alaptételének felhasználásával döntsük el, hogy izomorfia erejéig hány 6, 8, 16, 32, 48 rendű Abel-csoport van.

21. Igazoljuk, hogy ha G és H csoportok, akkor Z(G × H) = Z(G) × Z(H).