Alkalmazott matematikus szak, második évfolyam, első félév Második zárthelyi — megoldásvázlatok, eredmények

1. Az eredmény −θ^{2}.

2. A minimálpolinom osztója x^{5} − 7-nek, mert ez egy olyan polinom ℚ(\sqrt[7]{5}) fölött, melynek \sqrt[5]{7} gyöke (1 pont). Ahhoz, hogy belássuk, hogy ez maga a minimálpolinom, elég megmutatni, hogy |ℚ(\sqrt[7]{5})(\sqrt[5]{7}) : ℚ(\sqrt[7]{5})| = 5 (2 pont). Ez következik abból, hogy \sqrt[5]{7} és \sqrt[7]{5} fokai relatív prímek ℚ fölött (3 pont).

3. Nagyon nem izomorf. Például mert a Gauss-egészek gyűrűje nullosztómentes (hiszen komplex számokból áll), míg ℤ[x]/(2x) nem az, hiszen 2 + (2x) és x + (2x) szorzata nulla. Másik indok: az egységelem ellentettjéből az egyik gyűrűben vonható négyzetgyök, a másikban nem.

4. Mivel minden ideál részcsoport, és ciklikus csoportnak a rend minden osztójához pontosan egy ilyen rendű részcsoportja van, továbbá mivel ezek a részcsoportok nyilván ideálok is lesznek, a keresett háló izomorf a 27 osztóinak a hálójával, ami egy négyelemű lánc (3 pont). Ennek kongruenciahálója a kocka (3 pont).

5. ε = (1 + i)/\sqrt{2} = cos 45^{∘} + i sin 45^{∘}, azaz nyolcadik primitív egységgyök, aminek a minimálpolinomja Φ_{8}(x) = x^{4} + 1, tehát a bővítés negyedfokú (2 pont). Ez közvetlenül is kiszámolható, ha belátjuk, hogy ez a test valójában ℚ(\sqrt{2}, i). Emiatt kiszámolható, hogy a Galois-csoport a Klein-csoport, és így összesen 5 közbülső test van. De nem kell számolni sem: ez már abból is következik, hogy ez egy negyedfokú normális bővítés (hiszen x^{4} + 1 gyökei ε hatványai), és így a Galois-csoport vagy Klein, vagy ciklikus, tehát vagy 5, vagy 3 közbülső test van, de utóbbi nem lehet, mert ℚ(i) és ℚ(\sqrt{2}) nemtriviális közbülső testek (tehát legalább négy van).

6. Legyen A = x + 1 + (x^{3} + x^{2} + 1), N = 0 + (x^{3} + x^{2} + 1) és E = 1 + (x^{3} + x^{2} + 1). Ekkor A^{2} = x^{2} + 1 + (x^{3} + x^{2} + 1) és A^{3} = x^{3} + x^{2} + x + 1 + (x^{3} + x^{2} + 1) = x + (x^{3} + x^{2} + 1). Tehát A^{3} + A + E = N. Vagyis A gyöke az Ex^{3} + Ex + E polinomnak, ami irreduciblilis {N, E} fölött, hiszen harmadfokú, és nincs gyöke. Ez tehát a minimálpolinom.