Alkalmazott matematikus szak, második évfolyam, első félév Első zárthelyi — megoldásvázlatok

1. Nincs. 1892 = 2^{2} · 11 · 43, a 11-Sylowok száma tehát osztója 4 ∗ 43-nak, és kongruens eggyel modulo 11. Ez a szám azonban csak az 1 lehet. Tehát az egyetlen 11-Sylow részcsoport normálosztó.

2. Legyen G a keresett csoport. A négyzet egyik csúcsa legyen A. Ekkor A a négyzet csúcsaiba mehet csak (mert ezek a negyedfokú pontok). Az A stabilizátora tehát |G|/4 elemszámú. Ha A fix, akkor a négyzet A-val szomszédos csúcsai helyet cserélhetnek. Ha ezek is fixen maradnak, akkor mindegyik kis ötszög még tükröződhet arra az átlójára, amely a négyzethez ragasztott csúcsból indul ki. Végülis |G| = 4 · 2 · 2^{4} = 128.

3. Például g = (123) jó (0 pont), mert (123)(12345) = (13452) (1 pont), és ez nem írható fel (12345)^{i}(123) alakban. Ezt vagy az i = 0, 1, 2, 3, 4 esetek végigszámolásával igazolhatjuk, vagy úgy, hogy észrevesszük, hogy (13452)(123)^{−1} = (14523) nem hatványa (12345)-nek.

4. Az (f^{6})^{2} = f^{4} már N-ben van, de f^{6} még nincs, ezért a keresett rend 2.

5. Mivel |A_{5}| = 2^{2} · 3 · 5, ezért a 2-Sylow rendje 4 (1 pont). Négyelemű csoport csak kettő van, tehát csak azt kell eldönteni, van-e negyedrendű elem (1 pont). De A_{5}-ben nincs negyedrendű elem, mert az ötelemű halmazon ez csak négyesciklus lehetne, ami páratlan permutáció (3 pont). Ezért a 2-Sylow a Klein-csoporttal izomorf (1 pont). Második megoldás: Vegyük észre, hogy {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} a Klein-csoporttal izomorf négyelemű részcsoport.

6. Legyen f = (1234) és t = (13)(56). Ekkor tft = (1432) = f^{−1}, és így a keresett részcsoport D_{4}-gyel izomorf (hiszen az f rendje 4, a t rendje 2, és számolni ugyanúgy kell velük, mint D_{4}-ben).