Alkalmazott matematikus szak, második évfolyam, első félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szerző neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Mindegyik feladat hat pontot ér, az osztályzat elégtelen, ha nincs lényegében megoldott feladat (azaz ami legalább öt pontot kapott), különben pedig az összpontszám hatodrészének egész része.

1. Van-e 1892 rendű egyszerű csoport?

2. Egy négyzet csúcsaihoz a csúcsuknál fogva egy-egy ötszöget ragasztunk. Határozzuk meg a kapott gráf szimmetriáinak a számát.

3. Álljon a H ≤ A_{5} részcsoport az (12345) ciklus hatványaiból. Adjunk meg olyan g ∈ A_{5} elemet, amelynek a H szerinti bal- illetve jobb mellékosztálya különböző.

4. Legyen N az a normálosztó a D_{8} diédercsoportban, ami az {e, f^{4}} elemekből áll. Határozzuk meg az f^{6}N elem rendjét a D_{8}/N faktorcsoportban. (Azt nem kell belátni, hogy N normálosztó).

5. Melyik ismert csoporttal izomorf az A_{5} csoport 2-Sylow részcsoportja?

6. Melyik ismert csoporttal izomorf az S_{6} csoportnak az a részcsoportja, amelyet az (1234) és (13)(56) elemek (együtt) generálnak?