Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Kilencedik alkalom

Ha K ≤ L egy testbővítés, akkor |L : K| jelöli ennek a bővítésnek a fokát, vagyis az L-nek, mint K feletti algebrának a dimenzióját. A szorzástétel szerint ha K ≤ L ≤ M, akkor |M : K| = |M : L| · |L : K|. Tudjuk továbbá, hogy ha α algebrai K felett, akkor |K(α) : K| = gr_{K}(α), ahol gr_{K}(α) az α foka K felett, azaz K feletti minimálpolinomjának foka. Ezért ha α ∈ L, akkor gr_{K}(α) osztja |L : K|-t. Igaz az is, hogy α ± β és αβ foka legfeljebb akkora lehet, mint α és β fokainak szorzata. Ezeknek az állításoknak a segítségével rengeteg számolás kerülhető el, ha egy bővítés fokát akarjuk meghatározni.

1. Felírható-e a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban a \sqrt[6]{2} illetve a \sqrt{2}, ahol a, b, c racionális számok?

2. Határozzuk meg |ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{2}) : ℚ| értékét.

3. Mutassuk meg, hogy ha K ≤ L egy testbővítés, α, β ∈ L, és gr_{K}(α) és gr_{K}(β) relatív prímek, akkor |K(α, β) : K| = gr_{K}(α)gr_{K}(β).

4. Határozzuk meg \sqrt[4]{2} fokát a ℚ(\sqrt{8}) és a ℚ(\sqrt[3]{7}) felett.

5. Legyen θ nem valós gyöke az x^{3} −2 polinomnak. Határozzuk meg θ fokát ℚ(\sqrt[3]{2}) felett, és a ℚ(θ) ∩ ℝ testet. Igaz-e, hogy ha K ≤ L ≤ M, és α ∈ M, akkor gr_{L}(α) | gr_{K}(α)?

6. Bizonyítsuk be, hogy ha a és b valós, akkor a + bi pontosan akkor algebrai (ℚ felett), ha a is és b is az. A bizonyításban használjuk fel, hogy az algebrai számok testet alkotnak.

7. Az alábbi számok közül melyek algebraiak, és melyek transzcendensek: π + 3, 5π + 6, π + \sqrt{2}, π^{2} + 2π + 2, \sqrt{π}.

8. Lineárisan független-e \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} a ℚ felett; \{1, i, \sqrt{2} + 3i\} az ℝ felett; \{1, π, 1/π\} a ℚ felett?

9. Egy algebrai szám és egy transzcendens szám összege mikor algebrai? És a szorzatuk? Egy algebrai szám négyzete lehet-e transzcendens? És a négyzetgyöke?

10. Számítsuk ki az alábbi fokszámokat: a) |ℚ(cos 23^{∘} + i sin 23^{∘}) : ℚ|; b) |ℚ(\sqrt{2}\sqrt[3]{3}) : ℚ|;

c) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ(\sqrt{2}) felett; d) \sqrt{2} + \sqrt[4]{2} foka ℚ felett.

11. Igazoljuk, hogy ℚ egyetlen véges bővítése sem lehet algebrailag zárt. Mutassuk meg, hogy a ℤ_{p} test nem algebrailag zárt. Melyek az algebrailag zárt véges testek?

12. Legyen K részteste ℂ-nek, és b, c racionális számok. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ K(\sqrt{c}). Bizonyítsuk be, hogy ekkor \sqrt{b} ∈ K, vagy \sqrt{b/c} ∈ K. (Vessük össze az állítást a VIII/8 feladattal).

13. Legyen b négyzetmentes racionális szám (azaz két négyzetmentes egész hányadosa), és p_{1}, …, p_{n} prímek. Tegyük fel, hogy \sqrt{b} ∈ ℚ(\sqrt{p}_{1}, …, \sqrt{p}_{n}). Bizonyítsuk be, hogy b kanonikus alakjában csak p_{1}, …, p_{n} szerepelhet. Ennek alapján mutassuk meg, hogy a prímszámok négyzetgyökei lineárisan függetlenek ℚ felett. (Egy végtelen halmaz akkor lineárisan független, ha minden véges részhalmaza az.)