Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hetedik alkalom

1. Keressünk ℝ[x]-ben olyan részgyűrűt, ami nem ideál.

2. Főideál-e ℤ[x]-ben (3, x), (x + 1, x + 2) illetve (2x + 2, x + 4)?

3. Készítsük el az alábbi gyűrűk műveleti tábláit, majd osztályozzuk őket izomorfia szerint. A 2ℤ a páros számok gyűrűjét, a 2ℤ_{16} pedig a ℤ_{16} gyűrű {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} részgyűrűjét jelöli.

ℤ_{8}/{0, 4}, ℤ_{16}/{0, 4, 8, 12}, 2ℤ/(8), 2ℤ_{16}/(8), ℤ/(4), 4ℤ/(16), ℤ[x]/(4, x) .

4. Tekintsük azt az ℝ[x]/(x^{2} + 1) ≅ ℂ izomorfizmust, amelyet úgy kapunk, hogy a homomorfizmus-tételt alkalmazzuk az f ↦ f(i) homomorfizmusra. Mi az x + 1, x^{2}, ax + b polinomok maradékosztályainak a képe?

5. Izomorfak-e az alábbi gyűrűk? Itt 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűje.

a) ℝ[x]/(x^{2} + 2) és ℂ.

b) ℝ[x]/(x^{2} − 1) és ℂ illetve ℝ × ℝ.

c) 𝔾/(5) és ℤ_{5} × ℤ_{5}.

d) 𝔾/(3) és a kilenc elemű test.

6. A ℚ[x]/(x^{2} + x + 1) gyűrűben mi az x + (x^{2} + x + 1) inverze?

7. Legyen L = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1). Határozzuk meg az L elemszámát, írjuk fel a műveleti tábláit, igazoljuk, hogy testet kaptunk, keressünk benne ℤ_{2}-vel izomorf {E, O} résztestet, és adjuk meg L-ben az Ex^{2} + Ex + E polinom gyökeit. Oldjuk meg az analóg feladatot x^{3} + x + 1-re is. Keressünk ezzel a módszerrel kilenc elemű testet.

8. Mutassuk meg, hogy az alábbi megfeleltetés gyűrű-izomorfizmus a kvaterniótest, és a ℂ^{2×2} mátrixgyűrű egy részgyűrűje között. Igazoljuk ennek felhasználásával, hogy a kvaterniószorzás asszociatív és disztributív.

a + bi + cj + dk ⟷ ( \begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix} ) (a, b, c, d ∈ ℝ).

9. Igazoljuk, hogy ha R gyűrű, akkor az (r, n)(s, m) = (rs + rm + sn, nm) szorzásra nézve az R^{+} × ℤ^{+} csoport egységelemes gyűrű, mely tartalmaz R-rel izomorf részgyűrűt.

10. Legyen R azoknak a (racionális) törteknek a gyűrűje, melyek nevezője páratlan. Határozzuk meg az egységeket, a felbonthatatlanokat és a prímeket. Hány prím van asszociáltság erejéig? Igaz-e az alaptétel? Mik az ideálok? Euklideszi gyűrűt kaptunk-e? Konstruáljunk olyan alaptételes gyűrűt, melyben asszociáltság erejéig hat darab prím van.

11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha R alaptételes gyűrű, ami nem test, akkor végtelen sok prím van benne (most az asszociált prímeket is különbözőnek tekintjük).

12^{∗}. Legyen K test, és jelölje K^{∘}[x] az olyan K feletti „polinomoknak” a gyűrűjét, amelyben az x kitevőjeként nemcsak nemnegatív egészek, hanem tetszőleges nemnegatív racionális számok szerepelhetnek. Igazoljuk, hogy nullosztómentes gyűrűt kaptunk, amelyben minden irreducibilis elem prím. Igaz-e a számelmélet alaptételének létezési illetve egyértelműségi állítása? Létezik-e felbonthatatlan elem ℂ^{∘}[x]-ben? És ℚ^{∘}[x]-ben?