Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Hatodik alkalom

1. Igazoljuk, hogy N_{G}(H) a legnagyobb olyan részcsoport, amiben H normálosztó. Határozzuk meg a D_{4} csoportban a {t, e} részcsoport normalizátorát, valamint az S_{4} csoportban az (123) által generált részcsoport normalizátorát.

2. Melyik ismert csoporttal izomorfak az alábbi csoportok Sylow részcsoportjai: ℤ_{12}^{+}, S_{3}, D_{6}, ℤ_{2}^{+} × A_{4}, S_{4}?

3. Határozzuk meg az alábbi csoportok p-Sylow-részcsoportjainak a számát minden p prímre: S_{3}, D_{6}, A_{4}, S_{4}, A_{5}.

4. Bizonyítsuk be, hogy egy G véges csoportban pontosan akkor van csak egy darab p-Sylow részcsoport, ha ez normálosztó G-ben.

5. Igazoljuk, hogy nincs 200, 204, 260, 56 rendű egyszerű csoport.

6. Igazoljuk, hogy ha p és q különböző prímek, akkor nincs pq rendű egyszerű csoport.

7. Legyen X ⊆ G. Mutassuk meg, hogy C_{G}(X) ◁ N_{G}(X).

8. Legyen P egy p-Sylow G-ben, és N ◁ G. Igazoljuk, hogy P ∩ N (egy) p-Sylowja N-nek, és NP/N (egy) p-Sylowja G/N-nek.

9^{∗}. Számítsuk ki, hogy egy véges csoport Cayley-reprezentációjában mely elemeknek lesz páratlan permutáció a képe. Mutassuk meg, hogy ha a G csoport 2-Sylow részcsoportja ciklikus (speciálisan ha G rendje 4k + 2 alakú), akkor G nem lehet egyszerű.

10^{∗}. [Frattini-elv] Legyen H ◁G és P egy p-Sylowja H-nak. Igazoljuk, hogy G = HN_{G}(P), és hogy N_{G}(P) tartalmazza G egy p-Sylow részcsoportját.

11. Az alábbi, definiáló relációkkal megadott csoportoknak határozzuk meg a rendjeit, és döntsük el, izomorfak-e valamelyik „ismert” csoporttal.

a) ⟨a | a^{2} = 1⟩.

b) ⟨a | a^{3} = 1⟩.

c) ⟨a | a^{5} = 1, a^{7} = 1⟩.

d) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, ab = ba⟩.

e) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{3} = 1, ab = ba⟩.

f) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{5} = 1, aba^{−1} = b^{−1}⟩.

g) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{5} = 1, aba^{−1} = b^{2}⟩.

h) ⟨t, f | t^{2} = 1, f^{n} = 1, tft = f^{−1}⟩.

i) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, (ab)^{3} = 1⟩.

j) ⟨a, b | a^{2} = 1, b^{2} = 1, (ab)^{4} = 1⟩.

k) ⟨a, b | a^{4} = 1, b^{2} = a^{2}, bab^{−1} = a^{−1}⟩.

l) ⟨a, b | a^{7} = b^{3} = 1, bab^{−1} = a^{3}⟩.

m) ⟨a, b, c | a^{2} = b^{2} = c^{3} = 1, ab = ba, cac^{−1} = b⟩.

n) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{3} = 1⟩.

o) ⟨a, b | a^{3} = b^{2} = (ab)^{4} = 1⟩.

p) ⟨a, b | a^{3} = b^{4} = 1, ba = ab^{3}⟩.

q) ⟨a, b, c | a^{4} = b^{2} = c^{2} = 1, ac = ca, bc = cb, ab = ba^{3}⟩.