Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Ötödik alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi G ≤ S_{X} permutációcsoportokban az orbitokat és a stabilizátorokat.

a) X a sík pontjai, G az origó körüli forgatások csoportja.

b) X a sík pontjai, G az x-tengellyel párhuzamos eltolások csoportja.

c) X egy szabályos n-szög csúcsai, G az ezt önmagába vivő egybevágóságok csoportja.

d) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportjának egy adott csúcsot fixáló elemei.

e) X = {1, 2, 3, 4}, G = A_{4}.

f) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gx, a G csoport az f_{g} permutációkból áll.

g) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gxg^{−1}, a G csoport az f_{g} permutációkból áll (itt csak a stabilizátorok kellenek).

2. Határozzuk meg az alábbi alakzatok szimmetriáinak számát.

a) Egy olyan téglatest, aminek mindhárom élhosszúsága különböző.

b) Egy olyan négyzet alapú egyenes hasáb, ami nem kocka.

c) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.

3. Rajzoljunk olyan gráfokat, melyeknek rendre pontosan 2, 4, illetve 3 szimmetriája van. Rajzoljunk olyat is, aminek csak 1 van (az identitás).

4. Igazoljuk, hogy ha A ≤ S_{n} Abel-féle és tranzitív, akkor |A| = n.

5. Legyen G ≤ S_{X} és x, y ∈ G. Mutassuk meg, hogy ha g(x) = y, és x stabilizátora H, akkor y stabilizátora gHg^{−1}.

6. Döntsük el, hogy az alábbi csoportok közül melyek bonthatók fel két valódi részcsoportjuk direkt szorzatára, és igenlő válasz esetén adjunk is meg egy-egy ilyen felbontást: ℤ_{6}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ^{+}, ℚ^{+}, ℂ^{+}, ℤ_{15}^{×}, ℤ_{16}^{×}, D_{3}, D_{4}, Q, A_{4}, S_{5}.

7. Hogyan fejezhető ki a direkt szorzat egy elemének a rendje a komponenseinek rendjei segítségével?

8. Adjuk meg a ℤ_{2}^{+} × ℤ_{4}^{+} csoport összes negyedrendű elemét.

9. A véges Abel-csoportok alaptételének felhasználásával döntsük el, hogy izomorfia erejéig hány 6, 8, 16, 32, 48 rendű Abel-csoport van.

10. Álljon G az S_{8} azon elemeiből, melyek az {1, 2, 3, 4} részhalmazt önmagába képzik. Mutassuk meg, hogy ez részcsoport, de nem normálosztó S_{8}-ban. Igaz-e, hogy G ≅ S_{4}×S_{4}?

11. Bizonyítsuk be, hogy D_{6} ≅ S_{3} × ℤ_{2}^{+}.

12. Hányféleképpen bontható direkt szorzatra ℤ_{5}^{+} × ℤ_{5}^{+}?

13. Igazoljuk, hogy ha G és H csoportok, akkor Z(G × H) = Z(G) × Z(H).

14. Adjuk meg az S_{4} × ℤ_{3} × ℤ_{2} csoport egy kompozícióláncát, és kompozíciófaktorait.

15^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha a G csoport rendje 2p, ahol p páratlan prím, akkor G vagy ciklikus, vagy izomorf a D_{p} diédercsoporttal.