Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Negyedik alkalom

1. Osztályozzuk az alábbi csoportokat aszerint, hogy melyek izomorfak közülük: ℤ_{2}^{+}, ℤ_{3}^{+}, ℤ_{4}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ_{3}^{×}, ℤ_{5}^{×}, ℤ_{6}^{×}, ℤ_{8}^{×}, ℤ_{12}^{×}, S_{2}, A_{3}, S_{3}, D_{3}, D_{4}, Q (a kvaterniócsoport), GL(2, 2).

2^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha G hatelemű csoport, akkor G ≅ ℤ_{6}^{+} vagy G ≅ S_{3}.

3. Határozzuk meg az I/7. feladatban szereplő, valamint az alábbi homomorfizmusok magját és képét.

a) G_{1} = S_{n}, G_{2} = ℤ^{×}, φ(f) az f előjele (azaz ±1).

b) G_{1} = ℤ^{+}, G_{2} = ℤ_{n}^{+}, φ(a) az a maradéka mod n.

c) G_{1} = D_{n}, G_{2} = ℤ_{2}^{+}, φ(x) = 0 ha x forgatás, 1 ha x tengelyes tükrözés.

4. A homomorfizmus-tétel alapján igazoljuk a következő izomorfizmusokat.

a) ℂ^{×}/egységkör ≅ pozitív valós számok a szorzásra . Milyen geometriai alakzatok ennek a faktorcsoportnak az elemei?

b) ℝ^{+}/ℤ^{+} ≅ komplex egységkör a szorzásra .

c) S_{n}/A_{n} ≅ ℤ^{×}.

d) ℤ^{+}/nℤ^{+} ≅ ℤ_{n}^{+}.

5. Állapítsuk meg az alábbi faktorcsoportok elemeinek rendjeit, és írjuk fel a szorzástábláikat: D_{4}/{e, f^{2}}, S_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. A kapott faktorok izomorfak-e valamilyen ismert csoporttal?

6. Állapítsuk meg, milyen ismert csoporttal izomorfak az alábbi faktorok:

a) D_{8}/{e, f^{2}, f^{4}, f^{6}}.

b) A_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(32)}.

c) D_{n}/{e, f, f^{2}, …, f^{n−1}}.

d) ℤ_{16}^{×}/{1, 9}.

7^{∗}. Van-e a kocka szimmetriacsoportjának S_{4}-gyel izomorf részcsoportja?

8. Állapítsuk meg az alább felsorolt csoportok konjugált osztályait, normálosztóit, centrumát, és azt, hogy a csoport feloldható-e: D_{3}, D_{4}, D_{5}, Q, S_{4}, S_{5}, A_{4}, A_{5}, GL(2, 2).

9. Legyen N kételemű normálosztó a G csoportban. Igazoljuk, hogy N ≤ Z(G).

10. Mutassuk meg, hogy ha egy G csoport azon elemei, melyeknek a négyzete az egységelem, részcsoportot alkotnak, akkor ez egyben normálosztó is. Igaz-e mindig, hogy ez a részhalmaz részcsoport?

11. Igazoljuk, hogy GL(n, T) centruma az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból áll.

12^{∗}. Legyen p > 2 prím. A GL(3, p) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlója alatt csupa 0, a főátlójában pedig csupa 1 áll. Igazoljuk, hogy egy p^{3} elemszámú G részcsoportot kaptunk, mely nem kommutatív, és minden egységtől különböző eleme p rendű. Határozzuk meg ennek a csoportnak a centrumát.

13^{∗∗}. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, akkor minden p indexű részcsoportja normálosztó.