Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Harmadik alkalom

1. Határozzuk meg a ℤ_{6}^{+} és a ℤ_{12}^{+} csoportok összes részcsoportját.

2. Bizonyítsuk be, hogy ha G véges ciklikus csoport, akkor a d rendű részcsoportok száma 1, ha d osztója a csoport rendjének, és nulla egyébként.

3. Határozzuk meg ℤ^{+} összes részcsoportját. Mi ennek az állításnak a kapcsolata azzal, hogy ℤ főideálgyűrű?

4. Határozzuk meg a Klein-csoport összes részcsoportját, és a szerintük vett mellékosztályokat.

5. Legyen nℤ^{+} az n-nel osztható egész számok csoportja az összeadásra. Határozzuk meg |ℤ^{+} : nℤ^{+}| értékét.

6. Határozzuk meg Lagrange tételének felhasználásával az S_{3} csoport összes részcsoportját, valamint az A_{4} alternáló csoport összes negyedrendű részcsoportját. Írjuk fel S_{3}-ban az {id, (12)} részcsoporthoz tartozó összes bal- és jobboldali mellékosztályt.

7. Határozzuk meg a G csoportban az X által generált részcsoportot:

a) G = ℤ^{+}, X = {28, 34}.

b) G = S_{4}, X = {(123), (12)(34)}.

c) G = ℝ^{×}, X = {2, 3}.

d) G = GL(n, ℝ), X a 2 determinánsú mátrixok halmaza.

e) G = S_{n}, X = {(12), (12 … n)}.

8. Határozzuk meg a D_{5} és D_{6} diédercsoportokban a ⟨t, f^{2}⟩ részcsoportot.

9. Normálosztó-e a H ≤ G részcsoport a következő esetekben?

a) G = ℤ^{+}, H = 3ℤ^{+} .

b) G = S_{3}, H = {id, (12)}.

c) G = S_{3}, H = {id, (123), (132)}.

d) G = S_{n}, H = A_{n}.

e) G = S_{4}, H = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.

f) G = D_{6}, H = {f^{2}, f^{4}, f^{6} = e}.

g) G = D_{6}, H = {e, f^{3}, t, tf^{3}}.

h) G = GL(n, ℝ), H az 1 determinánsú mátrixok halmaza.

i) G = GL(n, ℝ), H a diagonális mátrixok halmaza.

j) G = GL(n, ℝ), H az egységmátrix nem nulla skalárszorosainak a halmaza.

k) G = GL(n, ℝ), H a felső háromszögmátrixok halmaza.

10. Igazoljuk, hogy ha N ◁ G és H ≤ G, akkor N ∩ H ◁ H.

11. Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok additív csoportja nem végesen generált, sőt, minimális generátorrendszere sincs.

12. Mutassuk meg, hogy két véges indexű részcsoport metszete is véges indexű. Mennyi lehet a metszet indexe legfeljebb?

13^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy végesen generált csoportnak minden véges indexű részcsoportja végesen generált.