Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Második alkalom

1. Határozzuk meg ℤ_{n}^{+} és ℤ_{n}^{×} elemeinek a rendjeit, ha n = 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 24.

2. Adjuk meg az alábbi permutációk ciklusfelbontását és rendjét. Tegyük meg ugyanezt a ‘hátulról előre’ permutációval is.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

3. Végezzük el az alábbi műveleteket (és adjuk meg az eredmény ciklusfelbontását).

(1234)(35)(1432)(35) =? (12345)^{−1}(234)(12345) =? [(12)(23)(34)]^{1998} =?

4. Bizonyítsuk be az (x_{1}x_{2} … x_{k}) = (x_{1}x_{k})(x_{1}x_{k−1}) … (x_{1}x_{3})(x_{1}x_{2}) összefüggést. Igazoljuk, hogy S_{n} minden eleme előáll legfeljebb n − 1 darab transzpozíció (=2 hosszú ciklus) szorzataként.

5. Bizonyítsuk be, hogy az S_{n} csoport minden eleme felírható egy olyan soktényezős szorzat alakjában, melynek minden tényezője (12) vagy (12 … n).

6. Adjuk meg S_{n} összes olyan elemét, mely felcserélhető az (1, 2, …, n) ciklussal.

7^{∗}. Legyenek f, g, h elemei az S_{n} csoportnak.

a) Mutassuk meg, hogy g és f^{−1}gf diszjunkt ciklusokra való felbontásakor ugyanannyi, ugyanakkora hosszúságú ciklus keletkezik.

b) Bizonyítsuk be, hogy ha g és h diszjunkt ciklusokra való felbontásakor ugyanannyi, ugyanakkora hosszúságú ciklus keletkezik, akkor van olyan f, hogy h = f^{−1}gf.

8. Legyen f a D_{n} diédercsoportban egy 2π/n szögű forgatás, t pedig tetszőleges tengelyes tükrözés. Mutassuk meg, hogy D_{n} minden eleme egyértelműen felírható f^{i} vagy tf^{i} alakban, ahol 0 ≤ i < n. Igazoljuk azt is, hogy f^{i}t = tf^{−i} minden i egészre.

9. Igazoljuk, hogy ha a G csoport minden elemének a négyzete az egységelem, akkor G Abel. Igaz-e az állítás négyzet helyett negyedik hatványra?

10. Bizonyítsuk be, hogy ha g egy n-edrendű eleme egy G csoportnak (n véges), akkor tetszőleges k egészre g^{k} rendje n/(n, k).

11. Igazoljuk, hogy minden nem egyelemű véges csoportban van prímrendű elem.

12. Mi lesz egy ciklikus csoportban az elemek rendje? Melyik rend hányszor fordul elő?

13. Ciklikus-e a három-hatványadik komplex egységgyökök multiplikatív csoportja?

14. Mutassuk meg, hogy ha |g| és |h| relatív prímek, és gh = hg, akkor |gh| = |g||h|. Elhagyható-e a két feltétel valamelyike?

15. Legyen G csoport, H részcsoportja G-nek és g ∈ G. Mutassuk meg, hogy a g^{−1}Hg komplexusszorzat is részcsoport, melynek rendje ugyanaz, mint H rendje.

16. Mutassuk meg, hogy ha A és B részcsoportok egy G csoportban, akkor AB akkor és csak akkor részcsoport, ha AB = BA.

17^{∗}. Igazoljuk, hogy |G| pontosan akkor páros, ha G-ben van másodrendű elem.