Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Tizenkettedik alkalom

1. Döntsük el az alábbi részben rendezett halmazokról, hogy hálók-e, és ha igen, akkor disztributívak illetve modulárisak-e. Határozzuk meg ezeknek a hálóknak a kongruenciáit és részhálóit, és rajzoljuk le a kongruenciahálójukat és a részháló-hálójukat. Melyek lesznek komplementumosak, egyszerűek, illetve szubdirekt irreducibilisek? Keressük meg a metszet- illetve egyesítés-irreducibilis elemeket. Adjuk meg a második hálónak az elsőbe menő rendezéstartó leképezéseit, és válogassuk ki ezek közül a háló-homomorfizmusokat. Mindegyik lerajzolt hálóban keressünk minimális elemszámú generátorrendszert.

2. Vezessük le mindkét disztributív szabályból a másikat, és ezekből a moduláris szabályt.

3. Mutassuk meg, hogy egy háló-kongruencia minden osztálya konvex részháló.

4. Mutassuk meg, hogy egy csoport normálosztóhálója mindig moduláris, de nem feltétlenül disztributív, a részcsoporthálója pedig nem is biztos, hogy moduláris.

Ha A Abel-csoport és n ∈ ℤ, akkor nA = {na | a ∈ A}. Az A torziócsoport, ha minden eleme véges rendű; torziómentes, ha csak a 0 véges rendű; szabad, ha ℤ^{+} néhány példányának direkt összegével izomorf; osztható, ha az nA = A minden 0 ≠ n ∈ ℤ-re. ℤ_{p^{∞}} jelöli a komplex p-hatványadik egységgyökök csoportját a szorzásra (p prím).

5. Számítsuk ki a Hom(A, B), Hom(B, A), A ⊗ B Abel-csoportokat, ha (A, B) rendre (ℤ_{n}^{+}, ℤ^{+}); (ℤ_{n}^{+}, ℤ_{m}^{+}); (ℚ^{+}, ℤ_{n}^{+}); (ℚ^{+}, ℚ^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{n}^{+}); (ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{p^{∞}}) (mint ℤ-modulusok).

6. Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér. Írjuk fel V ⊗ V alábbi elemeit a lehető legrövidebb alakban (azaz minél kevesebb tenzor összegeként).

a) (1, 0) ⊗ (2, 4) + (2, 0) ⊗ (2, 4) + (3, 0) ⊗ (1, 2).

b) (1, 0) ⊗ (1, 0) + (1, 0) ⊗ (0, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0) + (0, 1) ⊗ (0, 1).

c) (1, 0) ⊗ (2, 2) + (1, 2) ⊗ (2, 1) + (0, 1) ⊗ (1, 0).

7. Igaz-e:

a) Osztható csoportnak bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata osztható.

b) Torziócsoport bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata torziócsoport.

c) Osztható csoportnak bármely torziócsoporttal vett tenzorszorzata nulla.

d) Két szabad Abel-csoport tenzorszorzata is szabad.

e) Ha A tetszőleges Abel-csoport, akkor ℤ_{n}^{+} ⊗ A ≅ A/nA.

8. Számítsuk ki A = ℤ^{+}, ℤ_{m}^{+}, ℤ_{p^{∞}}, ℚ^{+} esetén Hom(A, φ)-t, Hom(φ, A)-t és A ⊗ φ-t. Vizsgáljuk meg, hogyan függ össze φ és az eredmény injektivitása, illetve szürjektivitása.

a) φ : ℤ^{+} → ℤ^{+} az a homomorfizmus, ami minden elemhez az n-szeresét rendeli.

b) φ : ℤ_{m} → ℤ_{nm}, az n-nel szorzás.

c) φ : ℤ → ℤ_{n} a mod n vett maradék képzése.

d) φ a ℤ → ℚ beágyazás.