Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam, első félév Tizenegyedik alkalom

1. Az alábbi szerkesztési feladatok mindegyikében határozzuk meg a K alaptestet, a K(α) bővítés fokát K felett, az α minimálpolinomja felbontási testének fokát K felett, és döntsük el, hogy a szerkesztés elvégezhető-e.

a) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

b) Adott az egységszakasz, szerkesztendő α = \sqrt[4]{2}.

c) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[6]{2}.

d) Adott az egységszakasz és egy \sqrt[3]{2} hosszú szakasz, szerkesztendő α = \sqrt[5]{2}.

e) Adott (0, 0), (0, 1), (0, π), a feladat az egységsugarú kör négyszögesítése.

2. Szerkeszthető-e a háromszög, ha adott két oldalának és az egyikhez tartozó szögfelezőnek a hossza? Válaszoljunk az alábbiak megoldásával. Jelölje (a szokásos módon) az oldalakat a, b, c, a hozzájuk tartozó szögfelezőket f_{a}, f_{b}, f_{c}, a szemköztes szögeket α, β, γ.

a) Mutassuk meg, hogy f_{a} = (2bc cos(α/2))/(b + c).

b) Mutassuk meg, hogy cos(α/2) = \sqrt{(1 + cos α)/2}.

c) Vizsgáljuk azt a speciális esetet, amikor a = 1, b = 1, f_{a} = 1 (elég belátni, hogy ez nem szerkeszthető). Fejezzük ki ebben az esetben cos α-t az oldalak segítségével.

d) A c-re kapott egyenletből milyen érték adódik c fokára ℚ felett?

3. Határozzuk meg az x^{2^{2}} − x polinom felbontási testét ℤ_{2} felett, és a kapott test Galoiscsoportját a saját prímteste fölött. Tegyük meg ugyanezt az x^{2^{3}} − x polinommal is.

4. Határozzuk meg az i + j + k kvaternió inverzét, majd adjuk meg az x^{2} − 1 és az x^{2} + 1 polinomok összes gyökeit a kvaterniótestben.

5. Mutassuk meg, hogy a Frobenius-tétel feltételei mind szükségesek, sőt adjunk meg olyan példákat, amelyek azt mutatják, hogy

a) ℝ felett van olyan végtelen dimenziós, nullosztómentes algebra, ami nem test;

b) ℝ felett van olyan végtelen dimenziós, nullosztómentes algebra, ami test, de nem a tételben felsorolt algebrák valamelyike;

c) ℝ felett van véges dimenziós, nem nullosztómentes algebra (ami tehát nem test);

d) alkalmas test felett van akárhány, de véges dimenziós nullosztómentes algebra.

6. Legyen V a sík, mint ℝ feletti vektortér, és T az y = x egyenesre való tükrözés. Határozzuk meg a T által generált ideált Hom(V)-ben.

7. Adjuk meg a ℤ_{16} gyűrű legnagyobb nilpotens ideálját. Milyen n pozitív egészekre lesz ℤ_{n} féligegyszerű? Adjuk meg ebben az esetben a Wedderburn-Artin felbontást.

8. Legyen G rendre a ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{2}^{2}, D_{4}, Q csoport. Készítsük el a ℂ feletti csoportalgebrát, és bontsuk fel a Wedderburn-Artin tétel szerint.

9. Igazoljuk, hogy az alábbi R-modulusok egyszerűek, adjuk meg az endomorfizmusgyűrűjüket (ami a Schur-lemma szerint test), és az efeletti dimenziójukat.

a) ℤ_{p} a ℤ felett.

b) ℝ^{2} az ℝ^{2×2} felett, ahol mátrixot vektorral a szokásos módon szorzunk.

c) A kvaterniótest, mint önmaga feletti modulus.