Alkalmazott matematikus gyakorlat, második évfolyam első félév Első alkalom

1. Hány kétváltozós művelet van egy négyelemű halmazon?

2. Írjuk fel az alábbi kétváltozós műveletek szorzástábláit, és osztályozzuk a megfelelő struktúrákat aszerint, hogy izomorfak-e: az {1, i, −1, −i} számok a szorzásra; ℤ_{4}^{+}; ℤ_{8}^{×}; ℤ_{5}^{×}; a {0, 2, 4, 6} halmaz a modulo 8 összeadásra illetve szorzásra; a {0, 4, 8, 12} halmaz a modulo 16 összeadásra illetve szorzásra; a {3, 9, 27, 81} halmaz a modulo 81 szorzásra; egy kételemű halmaz összes önmagába menő leképezése a kompozícióra; egy négyelemű halmaz összes önmagába menő konstans leképezése a kompozícióra; egy téglalap illetve rombusz összes szimmetriája a kompozícióra; egy kételemű halmaz összes részhalmaza az unióra, a metszetre, illetve a szimmetrikus differenciára; a ℤ_{2} feletti összes polinomfüggvények a szorzásra; az {1, 2} × {1, 2} halmaz az (a, b) ∗ (c, d) = (a, d) műveletre; a {0, 1, 2, 3} halmaz a min illetve max műveletekre (összesen 20 struktúra).

3. Az előző feladatban szereplő struktúráknak számítsuk ki az összes részstruktúráit, és az összes kongruenciáit (nem kell az összes struktúráét kiszámolni, csak annyit, amennyi elég ahhoz, hogy a dolog flottul menjen). Melyek bonthatók fel nemtriviális módon direkt szorzatra, és melyek generálhatók egy elemmel? Keressünk olyan négyelemű félcsoportokat, amelyek a felsoroltak egyikével sem izomorfak. Van-e négyelemű egyszerű félcsoport?

4. Határozzuk meg izomorfia erejéig az összes négyelemű csoportot.

5. Van-e olyan kétváltozós művelet egy négyelemű halmazon, hogy a kapott struktúrának csak egy részalgebrája és két kongruenciája legyen (a triviálisak)?

6. Határozzuk meg izomorfia erejéig az összes olyan négyelemű félcsoportot, amelyen minden partíció kongruencia, és azokat is, ahol minden részhalmaz részalgebra.

7. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy művelettartóak-e. a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} az n × n-es komplex mátrixok a szorzásra, G_{2} = ℂ^{×}, φ(A) = det(A).

f) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

g) G_{1} = ℝ[x]^{+}, G_{2} = ℂ^{+}, φ(f) = f(i).

8. Az alábbi halmazrendszerek közül melyek induktívak?

a) Egy végtelen halmaz összes véges részhalmaza.

b) Egy gráf csúcsainak összes olyan részhalmaza, amiben nem halad él.

c) Egy vektortér összes altere. d)^{∗} A ℚ összes valódi részcsoportja.

9. Igazoljuk, hogy egy egységelemes gyűrű minden ideálja része egy maximális ideálnak.

10^{∗}. Írjuk le az egyszerű, kommutatív félcsoportokat.

11^{∗}. Igazoljuk, hogy ha egy nullelemes véges félcsoportban minden elem alkalmas hatványa nulla, akkor minden elég hosszú szorzat nulla.