Matematikatanári szak
Tantárgyleírás
2016.
Borromeo gyűrűk
Algebra és számelmélet4-tk
Óraszám
ea/gy		 Kredit
ea/gy		 Számonkérés Modul Tárgykód
ea/gy		 Ajánlott
félév		 Státusz
2 + 2 5 + 0 kollokvium +
aláírás		 közös képzés mm5t1al6
mm5t2al6		 6 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Erős:
Algebra és számelmélet3-tk (mm5t1al5)
Irodalom
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös kiadó, 2009.
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.
Tematika
  • Kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrű. Példák: Zm, Gauss-egészek, racionális függvények teste. Inverz, hatvány, többszörös. Nullosztómentes gyűrűben szabad egyszerűsíteni. Minden test nullosztómentes. A Zm gyűrű invertálható elemei, nullosztómentessége. Véges nullosztómentes gyűrű test. Polinomok gyűrű fölött, egységek. Karakterisztika, hatványozás véges karakterisztikában. Hányadostest. A komplex számok teste nem rendezhető. Frobenius tétele (bizonyítás nélkül). Művelettartó leképezés, példák: komplex konjugálás, maradékképzés, permutáció előjele, determináns, lineáris leképezések.
  • Gauss-lemma, az irreducibilis polinomok jellemzése az egész együtthatós polinomok gyűrűjében, itt is érvényes a számelmélet alaptétele. A Schönemann-Eisenstein-kritérium. A körosztási polinom, rekurzív képlete, irreducibilitása.
  • Algebrai és transzcendens számok, szám minimálpolinomja, kapcsolata az irreducibilitással. Nevezetes transzcendens számok. Testbővítés, fok, szorzástétel. Egyszerű testbővítés. Az algebrai számok testet alkotnak (bizonyítás nélkül). A geometriai szerkeszthetőség alapjai, nevezetes problémák. A legalább ötödfokú egyenletre nincs gyökképlet (bizonyítás nélkül).
  • Primitív gyök, index. Hatványmaradékok, Euler-lemma, kvadratikus reciprocitási tétel (bizonyítás nélkül). További számelméleti kitekintés: nevezetes diofantikus egyenletek; kriptográfiai alkalmazások; irracionális és racionális számok kapcsolata (approximáció); prímszámelmélet (prímek száma, prímek reciprokainak összege, Csebisev és Dirichlet tételei). Az itt nem szereplő bizonyítások egy része az Algebra és számelmélet5-tg tárgyban hangzik el.
↻