Matematikatanári szak
Tantárgyleírás
2016.
Tantárgyleírás
2016.
Algebra és számelmélet3-tk
Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Modul | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
2 + 2 | 5 + 0 | kollokvium + aláírás |
közös képzés | mm5t1al5 mm5t2al5 |
5 | kötelező |
Tantárgyfelelős
Erős | Gyenge | előfeltételek | |
---|---|---|---|
Erős:
Algebra és számelmélet2-tk
(mm5t1al2)
| |||
Erős:
Bevezető analízis1G-tk
(mm5t2an1)
|
Irodalom
- Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
- Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös kiadó, 2009.
Tematika
- A permutáció fogalma. Kompozíció, inverz. Inverzió, permutáció paritása (előjele) és ciklusfelbontása. A rend és az előjel leolvasása a ciklusfelbontásról. Az előjelek szorzástétele, a páros permutációk száma. A determináns definíciója, tulajdonságai (linearitás, oszlopcsere, transzponált). Kiszámítás Gauss-eliminációval. Vandermonde-determináns. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Balinverz és jobbinverz kapcsolata.
- Vektortér, altér, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió. Alterek összegének dimenziója, direkt összeg. Vektor koordinátái adott bázisban. Lineáris leképezések, transzformációk, műveletek, előírhatósági tétel, mátrixuk. Bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, determináns. A determináns és a térfogat. Lineáris transzformáció invertálhatóságának jellemzései, nullosztók. Mátrix sor- és oszloprangjának egyenlősége. Szorzat rangja. Lineáris egyenletrendszer és a rang kapcsolata, Cramer-szabály.
- Maradékos osztás polinomok között, euklideszi algoritmus, kitüntetett közös osztó. Az algebra alaptétele (bizonyítás nélkül). Irreducibilis polinomok test fölött, az irreducibilitás és a gyökök kapcsolata másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok leírása komplex és valós fölött. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, diagonalizálhatóság, alkalmazások. Mátrix és transzformáció minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel, Jordan-alak (bizonyítás nélkül).
- A csoport fogalma, példák: mátrixok, szimmetrikus csoport, diéder- és kvaterniócsoport. A hatványozás azonosságai. Elemrend, ciklikus csoportok, izomorfia. Részcsoport, mellékosztály, Lagrange-tétele. Permutációcsoport, orbit, stabilizátor, leszámlálások, Cayley-tétel.