Matematikatanári szak
Tantárgyleírás
2016.

Algebra és számelmélet3-tk
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Modul Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 5 + 0 kollokvium +
aláírás
közös képzés mm5t1al5
mm5t2al5
5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Erős:
Erős:
Irodalom
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös kiadó, 2009.
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.
Tematika
  • A permutáció fogalma. Kompozíció, inverz. Inverzió, permutáció paritása (előjele) és ciklusfelbontása. A rend és az előjel leolvasása a ciklusfelbontásról. Az előjelek szorzástétele, a páros permutációk száma. A determináns definíciója, tulajdonságai (linearitás, oszlopcsere, transzponált). Kiszámítás Gauss-eliminációval. Vandermonde-determináns. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Balinverz és jobbinverz kapcsolata.
  • Vektortér, altér, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió. Alterek összegének dimenziója, direkt összeg. Vektor koordinátái adott bázisban. Lineáris leképezések, transzformációk, műveletek, előírhatósági tétel, mátrixuk. Bázistranszformáció. Képtér, magtér, dimenziótétel, rang, determináns. A determináns és a térfogat. Lineáris transzformáció invertálhatóságának jellemzései, nullosztók. Mátrix sor- és oszloprangjának egyenlősége. Szorzat rangja. Lineáris egyenletrendszer és a rang kapcsolata, Cramer-szabály.
  • Maradékos osztás polinomok között, euklideszi algoritmus, kitüntetett közös osztó. Az algebra alaptétele (bizonyítás nélkül). Irreducibilis polinomok test fölött, az irreducibilitás és a gyökök kapcsolata másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok leírása komplex és valós fölött. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom, diagonalizálhatóság, alkalmazások. Mátrix és transzformáció minimálpolinomja, Cayley-Hamilton-tétel, Jordan-alak (bizonyítás nélkül).
  • A csoport fogalma, példák: mátrixok, szimmetrikus csoport, diéder- és kvaterniócsoport. A hatványozás azonosságai. Elemrend, ciklikus csoportok, izomorfia. Részcsoport, mellékosztály, Lagrange-tétele. Permutációcsoport, orbit, stabilizátor, leszámlálások, Cayley-tétel.