Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2020.

Véges matematika1 — intenzív változat

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: közös
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): vegmat1i0_m17ea, vegmat1i0_m17ga
  • Ajánlott félév: 1
  • Státusz: kötelező
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
közös vegmat1i0_m17ea
vegmat1i0_m17ga
1 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • A Véges matematika1 normál, haladó és intenzív változata egymás között átjárható.
  • Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.
  • Pótlási lehetőség: Egy sikertelen zárthelyi pótolható.

A tematikát kidolgozta:

Szükséges előismeretek

A középiskolai matematika anyag.

A tantárgy célkitűzése

A ma már a középiskolában, sőt általános iskolában is egyre többször előforduló kombinatorikus gondolkodásmód kialakítása sok feladat-megoldással.

Irodalom

  • Brunczel András, Elekes György: Véges matematika. ELTE jegyzet.
  • Elekes György: Kombinatorika feladatgyűjtemény. ELTE jegyzet.
  • Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok. JATE Polygon Kiadó.

Tematika

  • Stratégiás játékok, játékok a sakktáblán.
  • Leszámlálási alapfeladatok: permutációk, variációk, kombinációk ismétlés nélkül és ismétléssel. Logikai szitaformula és változatai, mint a ``Dobjuk ki a rosszat'' elv általánosítása. Rekurziós okoskodások, Fibonacci-számok, ezekre vezető kombinatorikai feladatok. A differencia-sorozatok módszere. A skatulyaelv és alkalmazásai kombinatorikai és geometriai feladatokban. Átlagolás, kettős leszámlálás.
  • Binomiális együtthatók, azonosságok binomiális együtthatókra. Kitalálós játékok: a Barkochba és változatai, hamis pénz kitalálása. Módszerek lehetetlenség igazolására.
  • Gráfok fogalma, hurokél, többszörös él, egyszerű gráfok. Pontok fokszáma és élek száma közti összefüggés, és alkalmazásai. Séták, vonalak, utak, körök és kapcsolatuk. Végtelen gráfok, Kőnig-lemma végtelen utakról. Összefüggő és nem összefüggő gráfok: komponensek.
  • Fák és erdők, élszámuk meghatározása. Euler-vonal ill. körvonal létezésének szükséges és elégséges feltétele. Irányított gráfok, turnamentek, pszeudogyőztesek. Az Euler-tétel megfelelője irányított gráfokra. Hamilton-körök és Hamilton-utak, szükséges feltétel létezésükre. Elégséges feltétel(ek) Hamilton-körök és Hamilton-utak létezésére. Hamilton-út
  • létezése turnamentekben. Körmérkőzések, a teljes gráf 1-faktorokra bontásai.
  • Összefüggőségi és útkereső algoritmusok: szélességi bejárás, labirintus-bejárás. Súlyozott élű gráfok: Kruskal és Dijkstra algoritmusai.
  • Síkgráfok, Euler-formula, Kuratowski tétele. Gráfszínezések, kromatikus szám. Háromszög nélküli nagy-kromatikus gráf. Kapcsolat végtelen gráf és véges részgráfjai kromatikus száma között. Síkgráfok színezése: hat-, öt- és négyszín tétel.
  • A Ramsey tétel gráfokra (két- és több színre.) Erdős alsó becslése. Ramsey tétele halmaz-rendszerekre. A ``Happy end'' probléma. Extremális gráfok: Maximális és maximálishoz közeli távolságok száma a síkban. Erdős-Stone-Simonovits (biz. nélkül). Becslés tiltott négyszög esetén. Véges geometriák. A Reimann-konstrukció. Felső becslés az egységtávolságok számára a síkban.