BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2020.
Tantárgyleírás
2020.
Geometriai transzformációk és alkalmazásaik
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: alk. mat.
- Kredit (ea+gy): 3 + 3
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): geotra1a0_m17ea, geotra1a0_m17ga
- Ajánlott félév: 4
- Státusz: köt. vál.
- Specializáció: elemző
- Kredit (ea+gy): 3 + 3
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): geotra1a0_m17ea, geotra1a0_m17ga
- Ajánlott félév: 4
- Státusz: köt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
2 + 2 | 3 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
alk. mat. | geotra1a0_m17ea geotra1a0_m17ga |
4 | köt. vál. |
3 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
elemző | geotra1a0_m17ea geotra1a0_m17ga |
4 | köt. vál. |
Tantárgyfelelős
Erős | Gyenge | előfeltételek |
---|---|---|
Gyakorlat | ||
Erős:
Geometria1E
(geomet1*0_m17ea)
| ||
Erős:
Algebra2E
(algebr2*0_m17ea)
| ||
Előadás | ||
Gyenge:
| ||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- Alkalmazott matematikus specializáción kötelezően el kell végezni legalább egyet az alábbi két tárgy közül: Differenciálgeometria, Geometriai transzformációk és alkalmazásaik.
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Az euklideszi sík és tér elemi geometriája. Vektorok és vektorműveletek, koordináta-geometria. Komplex számok. Vektortér, lineáris altér, lineáris transzformációk. Lineáris transzformációk leírása mátrixokkal. Egyváltozós vektorértékű függvények deriválása.
A tantárgy célkitűzése
A projektív és affin transzformációcsoportok, illetve az euklideszi tér izometriacsoportjának geometriai és algebrai leírása. Különféle gyakorlati problémák megoldása a projektív, és egybevágósági transzformációk, illetve az infinitezimális izometriák alkalmazásával.
Irodalom
- M. Berger: Geometry I. Universitext. Springer-Verlag, 1987.
- M.W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar: Robot Modeling and Control. John-Wiley & Sons, Inc., 2006.
- D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria. Gondolat Könyvkiadó, 1982.
Tematika
- A perspektív vetítés definíciója és alaptulajdonságai. Az ideális pontok bevezetésének motivációi. A projektív tér és a benne fekvő projektív egyenesek és a projektív síkok.
- A kettősviszony definíciója. A kettősviszony változása a pontok permutálásakor. A kettősviszony kifejezése a pontok közti távolságokkal, illetve a ponthármasok osztóviszonyaival, ha a négy pontból legalább három közönséges. Papposz tétele a kettősviszonyról. Harmonikus négyesek. A teljes négyoldal tétele.
- A projektív sík koordinátázása. A projektív sík pontjainak és egyeneseinek megadása reprezentáló vektorokkal. Projektív koordinátarendszerek. Pontok és egyenesek homogén koordinátái. Pont és egyenes illeszkedési feltétele a reprezentáló vektorokkal kifejezve. Két pontra illeszkedő egyenes és két egyenes metszéspontjának reprezentáló vektora. A dualitás elve a projektív síkon. Egy Descartes-féle koordinátarendszerhez illeszkedő projektív koordinátarendszer.
- Projektív transzformációk. Síkok közötti projektív transzformációk definíciója. Egy lineáris leképezés által meghatározott projektív transzformáció. A projektív geometria alaptétele. A projektív általános lineáris csoport.
- Az affin transzformációk definíciója. Egy affin transzformáció analitikus leírása egy Descartes-féle koordinátarendszerben és a hozzá illeszkedő projektív koordinátarendszerben. Affin transzformáció megadása egy háromszöggel és képével (síkban), illetve egy tetraéderrel és képével (térben).
- Egybevágósági transzformációk Rn-ben. Definíció, példák: eltolások, tükrözések affin alterekre. Cartan tétele: minden egybevágósági transzformáció előáll legfeljebb (n+1) hipersíkra vonatkozó tükrözés kompozíciójaként. Az egybevágósági transzformációk analitikus megadása, ortogonális lineáris transzformációk. Az ortogonális transzformációk kanonikus alakja. Az analitikus leírás megváltozása a koordinátarendszer eltolásakor. Az izometriák kanonikus alakja. Az ortogonális és az egybevágósági transzformációk osztályozása n=1,2,3-ra. Irányítástartó és irányításváltó transzformációk.
- SO(3) elemeinek leírása kvaterniókkal. Műveletek kvaterniókkal és tulajdonságaik, a tisztán képzetes kvaterniók terének invarianciája a konjugálásra nézve. Konjugálás a cos(α)+sin(α)a kvaternióval, ahol „a” tisztán képzetes egységkvaternió. Az SO(3)-beli elemek kvaternióreprezentációjának előnyei a számítógépes geometriában.
- Infinitezimális izometriák (Killing-mezők). Merev test mozgásának analitikus leírása. A pillanatnyi sebességmező. A Killing-mezők megadhatósága X(p)=Mp+v alakban, ahol M egy ferdén szimmetrikus mátrix. Killing-mezők kanonikus alakra hozása a koordinátarendszer megváltoztatásával.
- Killing-mezők osztályozása a síkban. Momentáncentrum. Az álló és a mozgó pólusgörbék. Tétel az álló és a mozgó pólusgörbék egymáson gördüléséről. Két mozgó sík egymásra vonatkozó pólusgörbéi. Fogaskerékfogazások. A fogaskerékfogazások alaptétele. Fogazáskonstrukciók epiciklois- és hipociklois-ívekkel, fogazás körevolvens-ívekkel.
- Infinitezimális izometriák geometriai leírása a térben. Momentántengely. Két mozgó tér egymásra vonatkozó pólusfelületei. A momentántengely kiszámolása. Alkalmazás: hiperboloid-fogaskerekek két kitérő forgástengely között.
- Robotgeometria. Alapfogalmak: alap, manipulátor (kéz), tagok, csuklók, elemi csuklótípusok, elemi csukló tengelye, munkatér. Nyílt láncú robotkarok osztályozása az egymást követő csuklótípusok alapján. Példa RRR, RPP, PPP típusú robotkarra. Koordinátarendszer hozzárendelése a tagokhoz a Denavit-Hartenberg-konvenció szerint. A Denavit-Hartenberg-féle paraméterek. A D-H-konvenció előnye.
- A direkt és inverz kinematikai és sebességkinematikai feladat. A direkt kinematikai feladatok megoldása a Denavit-Hartenberg-féle paraméterek segítségével. Szinguláris konfigurációk.