Tantárgyleírás
2020.
Funkcionálanalízis1
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: matematikus
- Kredit (ea+gy): 3 + 2
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): funkan1m0_m17ex, funkan1m0_m17gx
- Ajánlott félév: 5
- Státusz: kötelező
| Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + 2 | 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | funkan1m0_m17ex funkan1m0_m17gx |
5 | kötelező |
Tantárgyfelelős
| Erős | Gyenge | előfeltételek |
|---|---|---|
| Gyakorlat | ||
|
Erős:
| ||
| Előadás | ||
|
Gyenge:
Analízis3E-m
(analiz3m0_m17ea)
| ||
|
Gyenge:
a gyakorlat
| ||
Megjegyzések
- Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Analízis 3 félév, Lebesgue-integrál fogalma, lineáris algebra.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy bevezetést ad a lineáris funkcionálanalízis modern elméletébe. Ennek kapcsán mintegy szintézisét adja a valós és komplex függvénytan, az algebra, a mérték és integrálelméletben alapozásként megtanultaknak.
Irodalom
- Riesz, Szőkefalvi-Nagy: Funkcionálanalízis. Egyetemi tankönyv.
- Losonczi László: Funkcionálanalízis I. Egyetemi jegyzet.
Tematika
- Hilbert terek: belső vagy skalár-szorzat, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség félskalár-szorzatra, ℓ2, L2-terek. Riesz-tétele merőleges komponensekre való felbontásra: altértől való távolság. Ortonormált rendszerekre Hilbert térben: általánosított Fourier-sorfejtés: Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, Hilbert terek izometrikus isomorfikus azonosítása. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert téren. Riesz reprezentációs tétele: folytonos lineáris funkcionálok előállítása.
- Folytonos lineáris operátorok Hilbert téren: operátorok normája, numerikus sugara, adjungáltja, spektruma. Speciális operátorok: önadjungált, unitér, normális operátorok, ortogonális projekciók. Kompakt operátorok Hilbert-téren: Hilbert-Schmidt tétel normális kompakt, önadjungált kompakt operátorokra, mint a mátrixokra vonatkozó főtengely-tétel általánosítása.
- Banach terek: altértől való távolság, Riesz-lemmája. Baire kategória tétele. Folytonos lineáris funkcionálok normált téren, Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Mazur-Orlicz tétel. Folytonos lineáris operátorok Banach téren: operátorok adjungáltja, spektruma, Neumann sor. Banach-Steinhaus tételek: egyenletes korlátosság és pontonkénti konvergencia tétele. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele. Kompakt operátorok Banach téren: Riesz-Fredholm elmélet alapjai. Schander tétele, Lomonoszov tétel.