Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2020.

Fourier-analízis

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: matematikus
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): fouran1u0_m17ex, fouran1u0_m17gx
  • Ajánlott félév: 6
  • Státusz: köt. vál.
  • Specializáció: alk. mat.
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): fouran1u0_m17ex, fouran1u0_m17gx
  • Ajánlott félév: 6
  • Státusz: köt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus fouran1u0_m17ex
fouran1u0_m17gx
6 köt. vál.
3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. fouran1u0_m17ex
fouran1u0_m17gx
6 köt. vál.
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis3E-m (analiz3m0_m17ea) vagy
Analízis3E-ae (analiz3v0_m20ea)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat

Szükséges előismeretek

Analízis 3 (függvénysorok konvergenciája, metrikus és normált terek, a többváltozós analízis elemei).

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célkitűzései: Az ortogonális függvénysorok és a Fourier-transzformáció klasszikus elméletének és alkalmazásainak megismertetése.

Irodalom

  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Polygon, 2002.
  • E. M. Stein and R. Shakarchi: Fourier analysis: an introduction. Princeton University Press, 2003.
  • T. W. Körner: Fourier analysis. Cambridge University Press, 1988.
  • T. W. Körner: Exercises in Fourier analysis. Cambridge University Press, 1993.

Tematika

  • Ortogonális rendszer szerinti Fourier-sorfejtés absztrakt megközelítése, a Fourier-sor normabeli, egyenletes és pontonkénti konvergenciája.
  • Trigonometrikus rendszer szerinti Fourier-sorfejtés, ennek egyenletes és pontonkénti konvergenciája.
  • Folytonos függvények közelítése trigonometrikus polinommal, Fejér tétele, Weierstrass-féle approximációs tétel.
  • Fourier-sorok alkalmazásai: Wirtinger-egyenlőtlenség, az izoperimetrikus probléma, Fourier-módszer a hővezetési és a hullámegyenletre vonatkozó vegyes feladatok megoldására.
  • Diszkrét Fourier-transzformált. A gyors Fourier-transzformáció (FFT).
  • A Fourier-transzformáció alaptulajdonságai. A Schwartz-tér és az inverziós formula. Kiterjesztés tágabb függvényosztályokra.
  • Alkalmazások: a hő-mag, Poisson-összegzés, Heisenberg-féle határozatlansági elv.
  • Kitekintés a komplex elméletre (alapkérdések és válaszok bizonyítás nélkül).
  • Magasabb dimenziós Fourier-transzformáció néhány alkalmazása. A hullámegyenlet. A Huygens-elv 1 és 3 dimenzióban. A Radon-transzformáció.