Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2020.

Differenciálgeometria

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: alk. mat.
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): difgeo1a0_m17ex, difgeo1a0_m17gx
  • Ajánlott félév: 6
  • Státusz: köt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. difgeo1a0_m17ex
difgeo1a0_m17gx
6 köt. vál.
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria1E (geomet1*0_m17ea)
Erős:
Algebra2E (algebr2*0_m17ea)
Erős:
Analízis3E-m (analiz3m0_m17ea) vagy
Analízis3E-ae (analiz3v0_m20ea)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • Alkalmazott matematikus specializáción kötelezően el kell végezni legalább egyet az alábbi két tárgy közül: Differenciálgeometria, Geometriai transzformációk és alkalmazásaik.
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

Szükséges előismeretek

  • Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések, sajátértékek és sajátvektorok. Bilineáris függvények, skaláris szorzat. Vektoriális szorzat a 3-dimenziós térben.
  • Koordinátageometria. Izometriák a 3-dimenziós euklideszi térben.
  • Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy egyik célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása. Továbbá cél felhívni a hallgatók figyelmét a differenciálgeometria eszközeinek a műszaki gyakorlatban való alkalmazásaira.

Irodalom

  • Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki Könyvkiadó, 1979.
  • Verhóczki László: Interneten elérhető jegyzet: Klasszikus differenciálgeometria.

Tematika

  • Reguláris sima görbe a 3-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ívhossz. Természetes paraméterezés. A reguláris görbe görbülete. Az egyszerű ív fogalma.
  • Az R3–beli általános típusú görbe kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Torzió. Frenet-formulák. A görbe simulóköre egy adott pontban. Az azonos görbülettel és torzióval rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele.
  • A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolutája, parallelgörbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel.
  • Paraméterezett sima görbék Rn–ben.
  • Sima elemi felület a 3-dimenziós euklideszi térben. Az elemi felületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne. A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi felület között. A sima felület fogalma. Az R3 téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe mint sima felület.
  • Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület.
  • Az elemi felület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. Az elemi felület stacionárius görbéinek értelmezése. A geodetikus görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer.
  • Az R3–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium (bizonyítás nélkül).
  • Forgásfelületek és vonalfelületek R3–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai. Görbületi vonalak. Dupin tétele, görbületi vonalak másodrendű felületeken. Minimálfelületek.
  • Kitekintés az Rn–beli sima hiperfelületekre.