Algebra3

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Pálfy Péter Pál, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

Klasszikus és lineáris algebra, elemi számelmélet.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az absztrakt algebrai alapfogalmak és szemléletmód bemutatása.

Irodalom

• Kiss Emil: TypoTeX Kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.

Ajánlott:

• Fried Ervin: Algebra I-II. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.
• Fuchs László: Algebra. ELTE egyetemi jegyzet.
• B. Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok. Polygon kiadó, Szeged, 2005.

Tematika

• Csoportok. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, mátrixcsoportok. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport.
• Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak leírása. A generált részstruktúra (részcsoport, altér, részgyűrű, ideál stb.) általános fogalma és létezése. A generált részcsoport elemeinek leírása az általános, illetve a kommutatív esetben. Minden véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható.
• Permutációcsoport, fok, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A szabályos testek szimmetriáinak a száma. Csoport hatása halmazon. Cayley tétele.
• Izomorfizmus, módszerek az izomorfia eldöntésére. A ciklikus csoportok izomorfia-típusai. A kis elemszámú csoportok leírása. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek. Elem rendje a faktorcsoportban. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. Egyszerű csoportok, példák.
• A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. Diszkrét direkt szorzat (direkt összeg). Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás nélkül).
• Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Dyck tétele. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal.
• Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. A szimmetrikus csoportok kompozícióláncai. Féldirekt szorzat.
• Elem, illetve részcsoport centralizátora, normalizátora. Minden p-csoport feloldható, és centruma nemtriviális, minden p² rendű csoport kommutatív. Sylow részcsoportok, Sylow tételei.
• Gyűrűk. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Beágyazás egységelemes gyűrűbe. Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Véges nullosztómentes gyűrű test. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű. Jobb és baloldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test.
• Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel, és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes.
• A hányadostest konstrukciója. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete. Rendezett integritási tartomány, pozitivitástartomány és jellemzése, az elrendezhetőség feltétele. A kvaterniótest.
• Hálók. Részben rendezett halmaz. Legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel. A két definíció ekvivalenciája. Moduláris és disztributív hálók. A normálosztóháló, ill. a részmodulusháló moduláris. Stone-tétel disztributív hálókra. Komplementum. Boole-algebra.
• Univerzális algebra. Általános algebrai struktúrák, típus. Részalgebra, homomorfizmus direkt szorzat. Azonosság, azonosságokkal definiálható osztály, varietás. Szabad algebra. Birkhoff tétele.